|
| |
|
Слаботочка Книги Для интервала времени баланс энергии для столба дуги описан в виде соотношения """"" А = kai +ke + kr + k, (7.8) где Wci - напряжение на столбе дуги в начальный момент интервала времени Д; Wca-напряжение на столбе дуги в момент окончания интервала времени At; iu iz - токи в конце и начале интервала времени. Левая часть (7.8) определяет значение поступившей в дугу электрической энергии; правая часть уравнения (7.8) определяет расход поступившей в дугу энергии, где kai - кинетическая энергия атомов и ионов, вьfбpacывaeмыx из столба, поступающая в окружающий наполнитель; - кинетическая энергия электронов, выбрасываемых из столба, поступающая в наполнитель; kr - энергия, требуемая для ионизации части атомов, поступающая от столба в наполнитель при рекомбинации; km - энергия, выделяемая столбом дуги излучением в наполнитель. Для дальнейших расчетов использованы известное уравнение Саха, связывающее плотность электронов, функцию ионизации и температуру, и уравнение проводимости Спитцера, связывающее проводимость полностью ионизированной плазмы с температурой. В результате расчета с помощью ЭВМ построены семейства кривых, устанавливающих зависимости вольт-амперных и вольт-секундных характеристик, интегралов Джоуля, температуры и давления в дуге предохранителя от параметров конструкции предохранителя и контура КЗ. Кратко описанные выше некоторые эмпирические модели дуги позволяют решать задачи идентификации и выполняют конкретные функции в соответствии с целью их разработки. Узкая направленность снижает ценность такого рода моделей, особенно для задач оптимизации, что привело к разработке формализованных методов анализа. 7.2. Формализованные методы анализа Оптимизационная задача. Одной из важнейших характеристик предохранителя является энергия дуги при отключении аварийного тока. Эта характеристика предопределяет надежность предохранителя (энергия выступает как обобщенный показатель степени термической и механической нагрузки предохранителя), его габариты, экономичность коммутационных испытаний и выбор оптимального соотношения между постоянной времени контура КЗ и допустимым напряжением постоянного тока. Еще в начале ЗО-х годов установлено, что максимальная энергия дуги в токоограничивающих предохранителях развивается при аварийном токе, значительно меньшем тока предельной коммутационной спо- собности. Более того, для каждого типа предохранителя и каждого значения его номинального тока существует свой фазовый угол, соответствующий максимальной энергии дуги при КЗ. В 1969 г. были опубликованы [7.11] результаты исследований контура КЗ, в котором энергия дуги максимальна. При этом не удалось получить конкретных рекомендаций, а задача проведения анализа проблемы вообще не ставилась. Рекомендации МЭК в этом направлении довольно расплывчаты и часто не учитывают ряд существенных факторов. Авторами в [2.17] поставлена и решена оптимизационная задача по определению формы и значения напряжения на дуге, обеспечивающих минимум ее энергии. Исходными данными для постановки и решения такой задачи применительно к постоянному току являются следующие соотношения: L+Ri+u,{t) = uc, (7.9) где L, R, Uc - параметры контура КЗ; Up,(t) -напряжение на дуге. Необходимо найти такое Ыд(0, чтобы при 1тфО энергия E=ji{t)u,dt (7.10) принимала минимальное значение в диапазоне напряжений «с<«д(0<«дто. (7.11) где Ыдтал: - максимально допустимое напряжение на дуге. Методика решения задачи базируется на использовании принципа максимума Понтрягина [7.2]. Введем следующие переменные: Ht)=xUt)-ai; (7.12) %(0=u(/)-fB; (7.13) xAi)= pit)ucdt, (7.14) AUp,max-Uc/2; B = Un-\-Uc/2; a=Up,max-Ucl2L= A/L; tL/R. (7.15) Тогда исходную задачу можно представить в виде x = Uclx{t)~aij. I i(0) = .„ = J(0)+a; x (0) = 0. (T) --- a-c; (T) = E~ min. В соответствии с предложенной методикой условия минимума будут найдены, если будут определены параметры, доставляющие минимум функции Гамильтона Н для-системы (7.16): (7.16> (7.17> (7.18> Я = Р, с «СР2-- да (О - apu(t) - amj, (7.19> где Pi, Pz - сопряженные переменные. Таким образом, для минимизации Ед и Х2{Т) необходимо и достаточно, чтобы Я {X*, Р\ Рй*. "*(0) = max Я = О, (7.20> а (О где звездочкой обозначены сопряженные переменные. Процедура нахождения параметров этого выражения включала в себя решение двухточечной краевой задачи, на основе которой были определены значения Xi(t), Pi(t) 2(0. "(0. удовлетворяющие (7.20), и определено выражение (°)+-f-r(0) Ер = х (Т) = 2atln- 2a-z (7.21)3 В результате установлено, что минимальная энергия дуги при заданных ограничениях получается в случае, когда вольт-секундная характеристика дуги имеет прямоугольную форму, а напряжение на дуге равно максимально допустимому значению. Такую характеристику можно считать идеальной. Результаты решения описанной задачи позволяют-использовать понятие такой идеальной характеристики предохранителя и как эталон характеристик, и как инструмент анализа. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 [72] 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 |