|
| |
|
Слаботочка Книги что при наложении двух или нескольких полей они не сказывают влияния друг на друга и результат воздействия каждого из них можно рассчитывать отдельно. Для преобразования и упрощения уравнений Максвелла вводятся энергетические характеристики электромагнитно] о поля - скалярный ф и векторный А потенциалы, связанные с напряжен-ностями Е и Н следующим образом: с 1 ел , Е=--- -gmdfp; с dt h=-LrotA; I (1.6) divA+3iESL =0. с dt Последнее уравнение в (1.6) -условие Лоренца, обеспечивающее однозначность задания А и ф и единство вида описывающих их уравнений. В простейшем случае для изотропной непроводящей среды (e = const, [x = consl, а=0), не содержащей объемных зарядов (р = 0), преобразование систем уравнений (11), (1.2) приводит к уравнению незатухающих колебаний д„- Ifi , (1.7) где вместо и можно подставить ф, Е, Н, А (или любую из проекций этих векторов на оси х, у, z декартовой системы координат). Решением (1.7) для безграничного пространства является плоская монохроматическая волна, ее векторный потенциал имеет вид А = Аоехр{-П(о-(к,г)]}; (1.8) где Ао - амплитуда вектора А, т. е. некоторый постоянный (в общем случае комплексный) вектор; со - круговая частота колебаний распространяющейся волны, г - радиус-вектор произвольной точки поля; к - волновой вектор. Аналогичные выражения могут быть записаны для векторов Е и Н. Заметим, что физический смысл имеет лишь действительная часть (1.8) Re [А], т. е. линейные комбинации косинусов и синусов. В дальнейшем при нахождении общих решений для волнового поля будем использовать представление этих решений суперпозицией плоских волн вида (1.8) и комплексно-сопряженных с ними А* и лишь на последнем этапе выделять действительную часть полученного выражения. Полагая, что в (1.8) электрический вектор имеет лишь -составляющую, а направление распространения совпадает с осью х*, и выделяя действительную часть экспоненциального решения, получаем окончательное выражение для плоской волны: Е = еу E,oCos(oit-kx + %), (1.9) * Обычно принимают, что свет распространяется вдоль оси z. где е,; - орт в направлении у, Еуо - амплитуда колебаний электрического вектора, k - волновое число, iJ:o - начальная фаза (для одиночной волны момент начала отсчета произвольный, поэтому всегда можно положить 1150 = 0; в общем выражении (1.8) начальная фаза содержится в Ао). Подобное решение получается и для магнитного вектора. Плоская волна вида (1.9) получается в том случае, когда излучатель находится в бесконечности; в случае точечного или бесконечного протяженного нитевидного излучателя (1.8) трансформируется в выражения для сферической или цилиндрической волны. Для этих волн характерно уменьшение амплитуды по закону 1/г и l/Yr соответственно. Анализ решений уравнения Максвелла позволяет сделать ряд важных выводов: 1. Электромагнитная волна (рис. 1.3) является поперечной, т. е. векторы Е и Н перпендикулярны направлению распространения Сх- Более того, между векторами Е и Н имеется строгая взаимосвязь: они взаимно ортогональны, изменяются синхронно (в фазе), их амплитуды связаны соотношением Я,о= T8/ti£,o- (1-10) Векторы е., Е, Н образуют «правую тройку», как это показано на рис. 1.3. Заметим, что линию, совпадающую с направлением распространения волны (касательную к вектору е), называют лучом, перпендикулярную лучу плоскость - волнов-ым фронтом или фронтом волны. В общем случае неплоской волны волновым фронтом называют такую поверхностью, которая в данный момент времени характеризуется одним и тем же значением фазы 1)3- Вдоль луча распространяется энергия электромагнитной волны; плотность потока энергии (мгновенное значение) задается вектором Пойнтинга П = (с/4я)[Е,Н]. (1.11) На практике для характеристики энергии, переносимой излучением, используется не вектор Пойнтинга, а интенсивность излучения, получаемая путем усреднения П по периоду колебаний волны Т /=<П) = = (ЕЕ*), (1.12) где символы < > и * означают усреднение по периоду и комплексно-сопряженную величину соответственно. Именно интенсивность излучения может быть экспериментально измерена. Второе представление интенсивности в (1.12) определяется волновой природой излучения и приводит к практически важному выводу о ее пропорциональности квадрату амплитуды колебаний: (для волны на рис. 1.3).  Рис. 1.3. Характер колебаний электрического и магнитного векторов плоской электромагнитной волны В отличие от вектора Пойнтин-га интенсивность - скалярная величина, ее размерность Вт/см. 2. При принятых! для вывода (1.8) упрощениях электромагнитная волна является мо- нохроматической: все компоненты векторов Е и Н совершают строго гармонические колебания с круговой частотой со. Частота (или, что в оптике чаще, длина волны) определяет спектральную линию излучения. Идеально монохроматических колебаний, т. е. бесконечных во времени и имеющих постоянную амплитуду и частоту, в природе не бывает. Во-первых, время существования любой волны конечно (от начала генерации до поглощения); во-вторых, тепловое движение излучающих атомов вызывает доплеровское изменение со; в-третьих, при любом методе определения со абсолютная точность не может быть достигнута не только из-за неидеальности измерительных приборов, но и вследствие физического ограничения, задаваемого соотношением неопределенности. Все это ведет к тому, что любое реальное излучение осуществляется в некотором диапазоне частот Дсо и является таким образом квазимонохроматическим. Относительная ширина спектральной линии Дсо/со характеризует степень близости излучения к монохроматическому. Иногда используют термин «однородное излучение», ограничивая его спектр таким значением Дсо, при котором воздействие этого излучения эквивалентно воздействию монохроматического в пределах точности измерительных приборов. Заметим, что однородность или квазимонохроматичность излучения не могут быть определены однозначно: например, при калибровке кремниевых фотодиодов излучение светодиода с Дсо/со- 0,05 можно считать монохроматическим, а для получения голограмм высокого разрешения и луч лазера с Дсо/со~10~ имеет неприемлемо широкую спектральную линию. Несмотря на сказанное абстракция монохроматической волны играет исключительно важную роль, так как согласно теореме Фурье любое произвольное поле может быть представлено в виде совокупности невзаимодействующих монохроматических волн вида (1.8) с различными значениями определяющих их параметров Ао, со, к. Для волнового колебательного процесса эта совокупность представляет собой ряд Фурье (в общем случае бесконечный), суммирующий отдельные гармоники; круговые частоты членов этого ряда изменяютсялозакону cum=m(u, где т=0, 1, 2,... Разложение непериодической функции приводит к интегралу Фурье, в 0 1 2 3 4 [5] 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 |