|
| |
|
Слаботочка Книги Подобные выражения могут быть получены и для волн Пт{М, z, t), у которых имеется z-составляющая не электрического [как при выводе (1.23)], а магнитного вектора. В этом случае амплитуда волны представляет собой решение для колебаний мембраны, не закрепленной (свободной) по контуру Е. Итак, волна, распространяющаяся вдоль оси волновода (см. рис. \Л,а) представляет собой дискретную совокупность плоских волн, амплитуды и фазы которых в каждой точке сечения s определяются решением задачи для колебаний закрепленной (или .свободной) мембраны, а волновые числа равны Y k"-ат- Каждая из составляющих в (1.23) представляет тип волны, или вол-мовую моду, характеризующуюся специфической структурой электромагнитного поля. Все моды волновода относятся к двум группам: волны П{М, Z, t), у которых EzO, Hz=0, называемые электрическими, Е- или ГМ-волнами; волны П{М, Z, t), у которых E,=0, НфО (т. е. поле Е поляризовано в плоскости 2 = const), называемые магнитными Н- или Т-волнамиЧ Любое поле в волноводе представляет суперпозицию полей ТЕ и ТМ. Уравнение (1.23) описывает незатухающие волны, распространяющиеся в направлении z, при условии й>атмин- Таким образом, с учетом (1.15) для каждого волновода получаем критиче-•ские значения частоты и длины волны «»„р = мин = мин сп; Кр = 2я/а „щ. (1.24) По волноводу могут распространяться лишь волны с сосокр и .ЯЯкр. Вследствие этого число распространяющихся мод всегда конечно, причем их тем больше, чем значительнее различие меж-.ду частотой вводимого в волновод излучения со и критическим значением собственной частоты волновода сокр (или Я и Хкр)- Волновое число каждой составляющей в (1.23) кв= V- отсюда tr.B = Ш Vi-{ajkf; = XlVl-{aJkf. (1-25) Отсюда следует, что разные составляющие электромагнитной волны волновода имеют разные групповые скорости, при приближении к критическому режиму (Я->-Якр) скорость распространения волны Vr.b-0, а длина волны Яв-оо, т. е. режим из волнового -становится колебательным. Проиллюстрируем общие положения на примерах. Для волновода с сечением s и виде прямоугольника {bi - толщина, - В аббревиатурах ТМ, ТЕ буква Т .(от англ. transverse - поперечный) оз-начает, что ТМ к ТЕ - поперечные по Н и по Е волны. ширина) собственные значения уравнения (1.20) зависят от двух целочисленных аргументов т и /: = <,i = "/l) + и Ibf- (1.26) Простейшая электрическая волна - ТМц (здесь т=И=0 и 1Ф0, так как силовые линии! магнитного ноля не могут упираться в стенки и замыкаются сами на себя), а простейшая магнитная - TEq. Структура этих волн (расположение силовых линий электрического и магнитного полей для фиксированного момента времени) представлена на рис. 1.4,6, е. Если принять Ьг! (что типично для интегрально-оптических волноводов), то, полагая в (1.26) т=\, получаем, что при к2Ь\ в волноводе может существовать лишь одна мода £,0. Для круглого волновода радиуса Го собственные значения a2 . = (x(.")/r„) (1.27) где - ;-й корень уравнения Jm(x)=0, где -функция Бесселя т-то порядка. Поскольку %(°>i = 2,4, то с учетом (1.24) получим условие существования лишь одной волны для круглого волновода: Я.2,6го. Наглядное представление о волновых модах дает лучевая теория (см. § 1.4), основанная на концепции зигзагообразного распространения света в волноводе. Соответственно этому каждая мода волнового поля представляет собой луч, падающий на границу волновод-окружающая среда под определенным углом О и распространяющийся по волноводу вследствие полного внутреннего отражения. Фактически тождественность волноводных мод и «косых» световых лучей вытекает и из решений уравнения Максвелла для волн Пу{М, Z, t) и Пг{М, Z, t). Действительно, для всех мод, кроме ТЕ, наряду с радиальными составляющими полей Е и Н имеются еще и осевые (вдоль оси z) хотя бы одного из этих полей. Геометрически это и означает плоскую волну, направление распространения которой отлично от z, причем это направление изменяется во времени (отражение от границ в лучевой теории). Несмотря на зигзагообразный путь такого луча свет (точнее, энергия излучения) распространяется лишь в направлении z (см. рис. 1.4), образуя в перпендикулярном направлении стоячую волну.Предельное значение угла падения, при котором могут существовать волноводные моды, определяется условием полного внутреннего отражения [см. формулу (1.36)] с заменой Кп.в.о на Оп.в.о. Для некоторых лучей внутри этого угла выполняются такие фазовые соотношения, при которых многократно отраженные от различных границ плоские волны интерферируют в фазе, т. е. не подвергаются «самогашению». Именно эти лучи (илн волны) представляют собой волноводные моды, прочие типы колебаний по мере распространения постепенно затухают. Волноводные моды определяются набором углов- 0m,j (целочисленные аргументы /пи/ отражают дискретность 6 в направлениях х и у), представляющих со- *бой частные решения трансцендентного уравнения, определяющего изменение фазы волны при распространении по волноводу Итак, волноводные моды в лучевой теории тождественны световым лучам, направленным под углами 6m,j к оси Oz, причем число разрешенных значений 6m.j конечно. Другой практически важный случай отступления от идеализации (см. § 1.1) -это падение светового луча на границу раздела двух сред. Рассмотрим простейшую задачу. Пусть граница раздела двух изотропных полубесконечных сред с показателями преломления пх и Пг представляет собой плоскость ху, на которую под углом Ki падает плоская электромагнитная волна (рис. 1.5). Уравнения (Максвелла решаются по той же схеме, что и раньше, при этом граничные условия в плоскости ху выражаются в непрерывности тангенциальных составляющих векторов Ей Н. Решение приводит к появлению двух составляющих распространяющейся волны - преломленной (луч 2) и отраженной (луч 3). Существуют простые взаимосвязи направлений лучей 1, 2 и 3 {законы отражения и преломления): 1 = з< sin =«2 sin «2. (1.28) При этом все три луча лежат в одной плоскости - плоскости падения. Если разложить электрический вектор падающей волны на составляющие Eip, лежащую в плоскости падения, и Eis, перпендикулярную ей, то для аналогичных составляющих преломленной
Рис. 1.5. Преломление и отражение света на границе двух сред  20 60 80 а,, ераВ Рис. 1.6. Зависимость коэффициента отражения R и его составляющих от угла падения для системы воздух - кварц (Rp соответствует поляризации света в плоскости р, проходящей через лучи i и 5, Rs - поляризации света в плоскости s, проходящей через луч 3 и перпендикулярной плоскости р) 0 1 2 3 4 5 6 [7] 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 |