|
| |
|
Слаботочка Книги 0 1 2 3 4 [5] 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36
О, о; 8 ех 6(х) В, Рнс. 12. Распределение сил и напряжений в простейшей схеме тензорезистора прн деформации балки: а -схема наклеенного тензорезистора; б - касательные напряжения; в - силы, растягивающие чувствительный элемент или его деформации; г - схема деформации элемента; / - связующее; 2 - чувствительный элемент; 3 - поверхность деформируемой балкн НОМ тонком слое связующего / с модулем сдвига G. При рассмотрении передачи деформации е образца через связующее чувствительному элементу приняты следующие допущения: в слое связующего при деформации возникают только сдвиговые (касательные) напряжения, а в чувствительном элементе и исследуемой конструкции - только нормальные. Допущение, что в тонком слое связующего при передаче упругих деформаций возникают только сдвиговые напряжения, принято рядом авторов при расчетах сварных соединений, стеклопластиков [67] и других соединений и приводит к достаточно точным формулам расчета; сдвиговые напряжения равномерны по периметру Р чувствительного элемента; связующее является линейным вязкоупругим телом; на концах чувствительного элемента в точках Oi и Ог (см. рис. 12, а) деформация принимается равной нулю. Такое допущение правомерно, так как расчетом и экспериментальными исследованиями [4, 39] установлено, что при отношениях модулей связующего и чувствительного элементов, равных 0,02 и менее, которые имеют место в тензорезисторах, деформация на расстоянии, близком от концов чувствительной решетки, мала (не более 5-10% передаваемой деформации). При отсутствии деформации отрезок образца x=OiA (рис. 12, г) равен отрезку OiB чувствительного элемента. При деформации образца на относительную величину е точка А в образце смещается на AAi - гх. За счет того, что связующее работает на сдвиг, точки Oi и Я отрезка х чувствительного эле- мента будут смещены в положение О/ и Ви т. е. смещение отрезка X чувствительного элемента будет {гх-\-Ь{х)), а деформация его dbx) 23) S4(-V) = S-f Уравнение (23) носит название уравнения (закона) совместности деформаций [67]. Смещения Ь{х) выражаются через напряжения сдвига S{x) как b{x) = S{x)PI(QC), (24) где G - модуль сдвига связующего, а коэффициент С учитывает влияние толщины связующего he. Этот коэффициент введен Форитье и Стейном [99, 114], которые при передаче деформации в проволочных тензорезисторах приняли, что напряжения по толщине слоя связующего распределены не равномерно, а пропорционально 1/С, определив значение С по аналогии с электростатической емкостью электрической оси относительно земли [32] для проволочного элемента диаметром d как С = 2я/1п-. (25) Для фольговых и полупроводниковых чувствительных элементов прямоугольного сечения по аналогии принимаем, что С = 2я/1п, (26) где h - толщина чувствительного элемента. Следует отметить, что в формулах (25) и (26) в значение he входит половина диаметра или толщины чувствительного элемента и поэтому всегда hc>d/2 или /г/2. Условия равновесия на отрезке чувствительного элемента dF{x) = S{x)Pdx. Нормальную силу, приложенную к чувствительному элементу в точке X, можно с учетом выражения (24) представить в виде F(x)=QC [ b{x)dx, (27) а деформацию чувствительного элемента гч{х) за счет этой силы как гч(л)= Ь(х) dx. где Ец - модуль упругости чувствительного элемента. 2-171 Подставляя сюда из формулы (24) значение еч{х), получа- Дифференцируя его, получаем линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка: 28 (X) GC Характеристическое уравнение его имеет два корня: (28) (29) Физическим решение этого корня являются скорости падения напряжений в связующем (см. рис. 12, б) и возрастания деформации (рис. 12, в) вдоль длины чувствительного элемента. Решение уравнения (28) будет следующим: 8(JC)==ae-*+aie*. (30) В частном случае 8(х)=ае-» (31) и при помещении начала координат в точку Oi (см. рис. 12, а), в которой по принятому допущению е,(0)=0, получим из выражений (23) и (31) соответственно: dx dx Уравнение (31) примет вид: Из формулы (24) с учетом выражения (29). получим, что 8(x) = -f е-о 5(x)=S„e-» где максимальные напряжения Sm (см. рис. 12, б) будут при х-0 определяться как (32) Из выражений (24) и (27) нормальная сила в точке х F(x)={\-t-ь), а еч(А:) после несложных преобразований примет вид (см. рис. 12, в): s,(x)=s(l-e-*), где 0<х<-. Рассматривая частное решение 8=ае* (33) и помещая начало координат в точку Ог, после аналогичных преобразований получаем: s,(xi) = s(l-e*.). где- Y<i<0- (34) Формулы (33) и (34) являются функциями передачи деформации при расчете простейшей схемы с использованием частных решений дифференциального уравнения (30). Средняя деформация по длине / чувствительного элемента будет определяться как 1/2 О
а коэффициент передачи Кпер-8ч/е с учетом выражений (33) и (34) будет равен: пер.ч 1 I \ (l-e-2). (35) В случае использования общего решения удобно начало координат при расчете поместить в середину нити чувствительного элемента. Постоянные а м а\ формулы (30) находятся в этом случае из граничных условий 6(0) ==0; еч( 2) ==8ч(-/2) ==0. Отсюда из выражений (24) и (30) получим, что dbf-jj I dx=-s, ai = -a. Дифференцируя уравнение (30) и проводя несложные преобразования, получаем: I «, . &shbx 2Ь Ы ch -г- bch- равна"" передачи деформации по формуле (23) будет chbx \ Средняя деформация в этом случае будет определяться как ( /, chbx \ еч.ср = -112 а коэффициент передачи деформаций пер.ч - 1 th Значения /Спер, рассчитанные при различных Ы/2 по формулам (35) и (36), приведены на рис. 13, из которых следует, что заметная разность расчетных значений /Спер имеет место только при малых значениях Ы/2 (так, при М/22 эта разность менее 5%). Обычно значения Ы/2 для большинства тензорезисторов в несколько раз больше, и поэтому при расчетах схем тензорезистора будем пользоваться частными решениями уравнений (30), приводящими к более простой и удобной для расчета /Спер-ч формуле (35). Проверка правильности этих формул проводилась путем сравнения расчетных и экспериментальных значений чувствительности проволочных тензорезисторов типа 1-П на пленочной основе. Тензорезисторы 1-П с базами 20-3,5 мм изготовлялись из константановой проволоки (Яч=1,7-10" Па) диаметром d- = 0,030 мм. Значение Ь рассчитывалось по формуле (29), которая после выражения сечения чувствительного элемента через диаметр d имеет вид: GC-4 Рис. 13. Зависимость /С„ерч от значений Ы12: / - расчет по формуле (35); 2 -расчет по формуле (36) (37) и по формуле (25), принимая /io = d. При этом для клеев типа ВЛ-6, используемых для прикрепления тензорезисторов этого типа, принят модуль сдвига G= 15-10» Па. Экспериментальные значения чувствительности тензорезисторов определялись на установке с консольно закреплен- ной балкой, прошедшей предварительно метрологическую аттестацию. Экспериментальные значения чувствительности в выборках (10-15 штук) и их средние квадратические рассеяния 5к для тензорезисторов 1-П с различными базами приведены в табл. 5. Там же приведены число нитей р чувствительной решетки, рассчитанные по формуле (35) значения коэффициентов передачи /Спер-ч деформации чувствительному элементу, а также коэффициентов /Спет, учитывающих уменьшение чувствительности за счет того, что закругленные участки (петли) проволочной чувствительной решетки не полностью воспринимают измеряемую деформацию. Коэффициенты /Спет рассчитывались в соответствии с работой [46] по формуле p/-f (1/2)ЯГпет(р-1)(1-() ,ООч р/-ЬЯГ„е.(р-1) где Гпет - радиус закругления петель чувствительной решетки, равный 0,1 мм для проволочных тензорезисторов типа 1-П; ц - коэффициент Пуассона балки, принятый равным 0,35 для балки из стали ЗОХГСА. Расчетные значения чувствительности /Срас, приведенные в табл. 5, определялись для проволочных тензорезисторов как рас = ЛГпр/Спетпер.ч> (39) где /Спр - коэффициент преобразования; для константановой проволоки фирмы «Драйвер Харрис» /Спр==2,10; /Спер.ч определяли по формуле (35). Кроме того, в табл. 5 приведены отклонения расчетных значений /Срас чувствительности от экспериментальных значений /С: Рас-/,пп (40) 100. Значения бк при всех базах (от 20 до 3,5 мм) составили не более 2,1%, что указывает на корректность принятых при расчете допущений и применимость полученных формул для расчета характеристик проволочных тензорезисторов. Проволочные тензорезисторы имеют достаточно высокие значения Ь и обычно используются в большебазном исполнении Таблица 5
0 1 2 3 4 [5] 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||