|
| |
|
Слаботочка Книги где / - номер уравнения; i - номер точки, в Koropovl численно интегрируется система. В уравнении (10-21) коэффициенты Рунге-Кутта имеют следу, кщие значения: ti-x i Ь . - il. i-l Г , Xn,i-\-\--2~ i-l + . ЛГх, ji -f , . . . , xn. i-1 + 10-6-4. МЕТОД A. В. БАШАРИНА Этот метод, подобно методу Эйлера-Коши, относится к группе методов с итерациями. Его формула для решения системы дифференциальных уравнений имеет вид Дф.(0 , fS x];]=xj,i-fj <Ры (0 + Xl, (-1 ..., xj, t-\ 4 t Xai-i (10-22) где /, ink имеют указанные выше значения (номер уравнения, номер точки, номер итерации). Приведенный выше алгоритм нового численного метода последовательного типа может быть рекомендован в качестве математического обеспечения ЦВМ наравне с другими численными методами. Метод имеет порядок точности, равный 2, и обеспечивает точность решения, лежащую между точностью, присущей усовершенствованному методу Эйлера-Коши, н точностью, присущей методу Рунге-Кутта (четвертого порядка). По устойчивости машинного решения метод не уступает методу Эйлера- Коши, Лучше метода Эйлера и несколько хуже метода Рунге-Кутта (четвертого порядка). По затратам машинного времени, рассматриваемый метод аналогичен методу Эйлера-Кошн и обеспечивает в 2-3 раза меньшую затрату времени, нежели метод Рупге- Кутта. Метод последовательного типа свободен от ряда погрйи-ностей, вносимых процедурами вычислений численных методов параллельного типа. Но главным достоинством этого численного метода последовательного типа является его инверсиость, что позволяет с успехом применять его для решения задач синтеза нелинейных АСУ на ЦВМ. Следует иметь в виду при пользовании итеративными методами, что практически чнсло итераций не следует брать более двух. -Обычно при правильно выбранном шаге интегрирования второе приближение обеспечивает достаточную точность получаемых результатов, В случае недостаточной достигаемой точности расчетов ледует не увеличивать число итераций, а уменьшать выбранный йг интегрирования, что обеспечивает меньшую затрату машинного У£ни на выполнение вычислений. При выполнении исследований, расчетов и проектирования АСУ ЭП на ЦВМ постановка задачи определяет и выбор рационального метода. Основными свойствами численных методов, опреде-ляюищх целесообразность использования того или иного алго-питма при решении какой-либо задачи анализа или синтеза на ЦВМ, являются точность, устойчивость машинного решения, затрата машинного времени, структура алгоритма, даюш.ая возможность использовать его для решения широкого класса разнообразных по постановке задач. Для исследования, расчетов и проектирования АСУ ЭП не следует рекомендовать применение метода Эйлера ввиду его неточности (ошибка в первом-второы знаке и систематически накапливающаяся ошибка при расчете). Нецелесообразно также применение метода Рунге-Кутта. Этот метод весьма точен, дает ошибку при расчете с допустимым по устойчивости машинного решения шагом интегрирования в восьмом-девятом знаке. Такая точность при расчетах автоматических систем управления не требуется, так как ошибка в описании физических явлений в системе уравнениями состояния, при задании характеристик н параметров системы на несколько порядков больше. Вместе с тем использование метода Рунге-Кутта приводит к неоправданно большой затрате машинного времени; наконец, этот метод не пригоден для решения оёратной задачи - синтеза систем уравнений. Нанболее целесообразно для моделирования АСУ ЭП применение методов второго порядка точности (Эйлера-Кошн, А. В. Ба-шарииа), даюищх ошибку в третьем-четвертом знаке. Однако, учитывая свойства структуры алгоритма последовательного типа, следует отдать предпочтение методу А. В. Башарина, что позволяет решать прямые и обратные задачи, т. е. производить анализ и синтез систем на базе единой математической основы. 10-7. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ НА ЦВМ Исходными для математического моделирования систем управления на ЦВМ являются уравнения состояния системы, функциональные воздействия на отдельные звенья, характеристики элементов системы, заданные аналитически, графически или таблично, а также численные значения параметров. Уравнения состояния могут содержать как дифференциальные, так и алгебраические уравнения. Решение последних на ЦВМ представляется в виде простейших арифметических операций н никаких затруднений не представляет. Оно не требует специальных подпрограмм и легко вписывается в общий алгоритм решения задачи. Некоторто специфику имеют задачи аппроксимации функциональных воздействий и нелинейных характеристик. В общем ма- шиином алгоритме решения задачи они требуют специальных подпрограмм интерполяции, о чем подробнее будет сказано ниже. Что касается дифференциальных уравнений, то составление программы решения их иа ЦВМ существенно зависит от алгоритма выбранного численного метода и требует более подробного рассмотрения. В общем случае движение системы управления описывается нормальной системой дифференциальных уравнений первого порядка, которые, будучи записаны в функциональной форме, имеют вид }f = fjbf>i{t)> Ф;(0..---. ФЛО. 7 (10-23) где / - I, 2, 3... - номер уравнения; 9i (t), ф {() - входные воздействия на отдельные звенья системы; х, jcj, - пере- менные величины, характеризующие состояния, которые в общем случае ие всегда являются выходными координатами физически существующих звеньев системы. Исходя из изложенного в § 10-6, для решения дифференциальных уравнений целесообразно использовать алгоритм последовательного типа (10-22). Этот алгоритм может использоваться без итераций (первое приближение для упрощенных вычислений) и с итерациями (обычно с двумя, второе приближение для более точных расчетов). 10-7-1. АЛГОРИТМ БЕЗ ИТЕРАЦИЙ (ПЕРВОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ) В соответствии с формулой (10-22) вычисленный алгоритм для определения приращений переменных в системе уравнений (10-23) будет иметь вид Ax2,i = tf2 ф1. Л кч -\--2- -1 J --Т- ДХ;,. = Л/у[ф ,.l(0 + . .... ф .ы(0 + Xj, i-i, , Хпу i-i Дт ., = Д;/ [ф,.it) + .... ф,(t) + -1, i-l Г 2 > 1-1 г 2 * * (10-24) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 [116] 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 |