|
| |
|
Слаботочка Книги Подставляя Л в (1), получим Поскольку di > d2, то в рассматриваемом примере стоимость задания первого аргумента при малых е растет быстрее, чем стоимость задания второго аргумента. В соответствии с этим мы получили, что второй аргумент следует задавать с точностью более высокого порядка малости по е, в то время как точность задания первого аргумента практически определяется из равенства CiA(oJ) = е. Различный характер зависимости функции стоимости от погрешностей задания аргументов может определяться многими факторами. Если, например, параметры aj определяются численным решением некоторых вспомогательных задач, то слагаемые DjA{aj)J характеризуют различную трудоемкость решения этих задач. В других случаях этот характер может определяться сложностью получения экспериментальных данных или трудностью достижения нужной точности тех или иных параметров в реальной конструкции. Литература 1. Березин И. С, Жидков Н. П. Методы вычислений. Т. 1. -М.: Наука, 1966. 2. Крылов В. И., Бобков В. В., Монастырный П. И. Начала теории вычислительных методов. Интерполирование и интегрирование. - Минск: Наука и техника, 1983. 3. Крылов В. И., Бобков В. В., Монастырный П. И. Вычислительные методы. Т. 1. - М.: Наука, 1976. ГяовиЗ ============ Интерполяция и численное дифференцирование в этой главе излагаются наиболее широко используемые способы вычисления приближенных значений функции и ее производных в слуше, когда известны значения функции в некоторых фиксированных точках. Множество этих точек иногда задается нам внешними обстоятельствами, а иногда мы можем выбрать их по своему усмотрению. Такого рода задачи приближения и приближенного дифференцирования часто возникают как самостоятельные в ситуациях, некоторые из которых будут рассмотрены ниже. Кроме того, алгоритмы решения этих задач используются как вспомогательные при построении методов вычисления интегралов, решения дифференциальных и интегральных уравнений. Наличие большого количества методов вызвано историческим развитием теории и практики решения прикладных задач. Многие методы возникли как варианты предшествуюп1,их, отличаясь от них формой записи, изменением порядка вычислений, имевшими цель уменьшить влияние погрешности округлений при вычислениях. В то же время развитие вычислительной техники и теории численных методов приводит к непрерывному пересмотру и некоторому сужению совокупности применяемых методов. Некоторые методы вышли из употребления по следуюшцм причинам. Произопшо увеличение разрядности чисел в ЭВМ, и как следствие этого оказалось несуп1,ественным различие в вычислительной погрешности в зависимости от последовательности арифметических операций; в результате этого в практике вычислений постепенно закрепились простейшие по форме методы. С другой стороны, усложнение модели задачи и требование уменьшения погрешности метода, как правило, требуют и существенного роста числа выполняемых арифметических операций. Несмотря на повышение разрядности шсел в ЭВМ, для ряда методов это обстоятельство приводит к недопустимо большому значению вычислительной погрешности (так называемой неустойчивости). Поэтому при повышении требований к точности результата ряд методов также был забракован и изъят из вычислительной практики. Тем не менее сохраняется положение, когда для решения каждой конкретной задачи можно применить довольно много методов. § 1. Постановка задачи приближения функций Иногда возникает ахедующий вопрос. Может быть, наличие большого количества различных способов приближения объясняется просто отсутствием научного подхода к постановке и решению проблемы; если бы такой подход был, то, может быть, удалось бы предложить один оптимальный способ приближения, пригодный во всех случаях? Такой вопрос возникает и при рассмотрении других разделов численного анализа. Сколь бы ни было заманчиво разработать единый подход к решению всех задач, следует все-таки признать, что многообразие методов вызывается суш,еством дела - многообразием различных постановок проблемы. В частности, различные теоретические разделы теории приближений, например интерполяции, можно рассматривать как изучение абстрактных моделей некоторых реальных классов проблем. 1. Простейшая задача, приводяш,ая к приближению функгщй, заключается в следующем. В дискретные моменты времени xi,...,j; наблюдаются значения функции /(ж); требуется восстановить ее значения при других ж. Подобная задача возникает, в частности, в следующей обстановке. По ходу вычислений на ЭВМ приходится многократно вычислять одну и ту же сложную функцию в различных точках. Вместо ее непосредственного вычисления иногда целесообразно вычислить ее значение в отдельных выбираемых нами по своему усмотрению точках, а в других точках вычислять по каким-либо простым формулам, используя инфор-мащю об этих известных значениях. Иногда из каких-то дополнительных соображений известно, что при-ближаюшую функцию целесообразно искать в виде /(ж) g{x;ai,..., а ). Если параметры ai,...,a,j определяются из условия совпадения /(ж) и приближающей функции в точках ..., х , так называемых узлах интерполяции, g{xf, аь ..., an) = /(жу), j = 1,..., п, то такой способ приближения называют интерполяцией или интерполированием. 2. Пусть у1 ~ наименьшее из чисел Х{ - узлов интерполяции, & У2~-наибольшее из них. Если точка х, в которой вычисляется значение f{x), лежит вне отрезка [yi, у2], то наряду с термином интерполяция употребляют термин экстраполяция. Например, известно поведение какой-либо переменной до данного момента времени и требуется высказать какое-то суждение о ее дальнейшем поведении. Это может быть температура, рост производства или потребления какого-либо продукта, рост народонаселения, урожайности и т.п. Задаются какими-то моментами времени, строят интерполирующую функцию и ее значение в какой-то будущий момент принимают за прогнозируемое (экстраполируемое) значение искомой величины. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 [10] 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |