|
| |
|
Слаботочка Книги § 11. Погрешность приближенного решения системы уравнений и обусловленность матриц. Регуляризация Предположим, что матрица и правая часть системы заданы неточно и вместо предъявленной к решению системы Лх = b (1) в действительности должна была решаться некоторая система Л1Х = bi, Л1 = Л -f А, bi = b + ri. (2) Пусть известны оценки А и ЦтЦ. Займемся оценкой погрешности решения. Сначала выделим главный член погрешности. Будем обозначать решения (1) и (2) через X и X* и разность X* - X - через г. Подставив выражения Л1, bi и X* в (2), будем иметь [А + А){Х + г) Ъ + Г]. Вычитая из этого равенства (1), полухим Лг + ДХ + Аг = Г}, откуда Лг = - АХ - Аг г = Л-(7?-АХ-Аг). (3) Если А и ЦтЦ малы, то следует ожидать и малости г. Тогда слагаемое Аг имеет более высокий порядок малости; отбрасывая ?то слагаемое, получаем rA-\ri-AX). Отсюда следует оценка погрешности гКс7 Л-1(М + АХ). (4) Строгая оценка погрешности получается следующим образом. Вследствие (3) выполняется неравенство Ikll < Л-1 М + Л-1 А Х + Л-1 иду г. Методы, рассмотренные в этом параграфе, получили широкое применение при решении систем уравнений Ах. = b с большим разбросом собственных значений матрицы А > 0. Отсюда получаем оценку относительной погрешности решения через меру обусловленности системы и относительную погрешность правой части: Так как г = А rj, то ЦХЦ цьц- V \\т \\л-% Иногда удобнее иметь более грубую характеристику свойств системы только через свойства матрицы А. Эту характеристику гу(А) = sup т на- зывают мерой (или числом) обусловленности матрицы А. Согласно этому определению и (6), имеем оценку ЦХЦ ( ЦЬЦ Предположим, что А~А < 1. Перенеся последнее слагаемое в левую часть и поделив неравенство на коэффициент при ЦгЦ, получим оценку (Н + 1А11Х) Довольно распространен случай, когда погрешность матрицы системы существенно меньше погрешности правой части. В качестве модели этой ситуации будем рассматривать случай точного задания матрицы системы. Тогда, полагая в (5) А = О, имеем 1ИК1И-11Ы. Для качественной характеристики связи между погрешностями правой части и решения вводятся понятия обусловленности системы и обусловленности матрицы системы. Абсолютные погрешности правой части и решения системы зависят от масштабов, которыми измеряются коэффициенты системы. Поэтому удобнее характеризовать свойства системы через связь между относительными погрешностями правой части и решения. Соответственно этому в качестве меры обусловленности системы принимается число \Ха\ ттЛл Таким образом, v{A) > maxlAAly/ ттАд > 1. В частности, при А = А имеем ЦЛЦг = шах Ал и А-12 =тах- = \\а\ тшАл Следовательно, в случае нормы { Цг v{A) = max Ад j min\Xa\- Рассмотрим вопрос о погрешности решения вследствие округления в ЭВМ правой части. Пусть, как обычно, i -двоичная разрядность чисел в ЭВМ. Каждый элемент bi правой час;ти округляется с относительной погрешностью 0(2 *), т.е. с абсолютной погрешностью, равной C)(bj2~*), поэтому IHI = о(Ь2-) и У/Ь=0(2-). Следовательно, r/XKi.(A)0(2-*). При практической работе вопрос; о строгой оценке погрешности полученного приближенного решения системы линейных уравнений с помощью полученных неравенств или каким-либо иным способом возникает редко. Однако информация о порядке погрешности решения часто полезна для получения качественных выводов о том, с какой точностью разумно решать задачу. Соотношения (4), (5) оценивают сверху погрешность решения, являюш,уюся следствием погрешности исходных данных. Из равенства (3) видно, что оценки (4), (5) довольно точны, поэтому обычно не имеет смысла стремиться получать решение задачи с погрешностью, существенно меньшей чем а. связывающую относительные погрешности правой части и решения только через свойства матрицы системы. Так как НА) = \\А\\ \\А-\\. Поскольку любая норма матрицы не меньше ее наибольшего по модулю собственного значения, то \\А\\ тахАд; поскольку собственные значения матриц А и А~ взаимно обратны, то 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 [100] 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |