|
| |
|
Слаботочка Книги При реально заданной правой части b = b -- решением будет Коэффициент (rj, ei)/Xi может оказаться очень большим при малых А, что ведет к сильному искажению решения. Иногда заранее известно, что в разложении искомого решения задачи свг коэффициенты с,;, соот- ветствующие малым по модулю А, малы. В этом случае следует принять какие-то меры с тем, чтобы отфильтровать эти составляющие решения. При небольших т для решения этой задачи иногда применяется следующий способ: задаются некоторым q > О, находят все А и е,; при i q и полагают q следует подобрать исходя из дополнительной информации о задаче. Другие два способа проиллюстрируем на примере матриц, где все Ai > 0. Первый способ. Задавая некоторое а > О, находим решение х° системы {аЕ + Л)х° = Ь. Оно записывается в виде (b,ei) Системы уравнений и матрицы с большими значениями мер обусловленности принято называть плохо обусловленными, а с малыми - хоро-гио обусловленными. Если правая часть (4), оценивающая погрешность решения через погрешность исходных данных, или оценка вычислительной погрешности недопустимо велики, то полезно принять во внимание какую-то дополнительную информацию о решении рассматриваемой задачи. Подход к решению такой задачи должен быть таким же, как в случае некорректных задач. Рассмотрим простейший случай, когда Л - симметричная матрица. Пусть Ai,..., Am 7 О - ее собственные значения, упорядоченные в порядке убывания Ai; соответствующую ортонормированную систему собственных векторов обозначим через ei,..., е. Решением системы Ах. - b является вектор (Ь, ei) Так как Ai Xi + a Xi{Xi + а) то наличие малого параметра а несущественно изменит слагаемые, соответствующие больгпим Xi. В то же время при Aj <С о; имеем (Ь, ei Xi+a (b, е,- Это означает, что введение параметра а приводит к существенному уменьюиению роли слагаемых, соответствуюших малым А,. Подбор оптимального значения а обычно осуществляют экспериментально, сравнивая результаты расчетов при различных а. Второй способ заключается в следующем. Будем реюиать систему уравнений каким-либо итерационным способом. Рассмотрим случай итераций по формуле при некотором начальном приближении х. Пусть Ъ = Ргг, х = Гег. Подставим эти выражения в (7) и, приравнивая коэффициенты при е./, получим соотношения z+ = ар, + (1 - aXi)z. Последовательно выражая каждое Zi через предыдущие, имеем zf = api -Ь (1 - aXi)/;- = api + (1 - aXi){al3i + (1 - aX,)z-) = = a/3iJ2{l - aXif + (1 - aXirzl Если 1 - aXi\ < 1, to при n -4 оо n-1 oo , Y[l-aXif-Y.l-aXif = (1 - aAi) -4 0, поэтому Zi (3i/Xi. Пусть (maxAj) , т.е. относительно мало. При больгпих значениях Aj величина (1 - aXi) быстро стремится к нулю с ростом п и Zi близко к своему предельному значению Pi/Xi. В то же время иногда удается подобрать начальное приближение, для которого величины Zi относительно малы при малых Aj. Тогда при небольшом п коэффициенты zf, соответствующие таким Aj, еще не будут недопустимо большими и получаемое приближение может оказаться приемлемым. В других случаях решение задачи находят, минимизируя некоторый функционал, близкий к F(x) = (Лх, х) - 2(Ь, х), например функционал f{x) + а{х, х) с малым а > 0. Успешность применения описанных приемов в случае несимметричных матриц А в существенной степени зависит от структуры жордановой формы и от ряда свойств матрицы. Здесь часто решение находят, минимизируя функционал (Лх - Ь, Лх - Ь) -I- а(х, х) при малых а > 0; значение а опять-таки подбирается экспериментально из сравнения результатов рас;четов при различных а. Другая группа методов основана на представлении матрицы системы Л в виде Л = GAP, где G и Р - ортогональные матрицы, а Л - двухдиагональная матрица, у которой могут быть отличными от нуля элементы Xij при j - г ш j = i + l. Большинство из описанных методов решения систем уравнений с плохо обусловленной матрицей относится к методам регуляризации. Задача 1. Пусть A = [а]-матрица размерности тхт с элементами при j = г, при .7 = г + \, при J фг,г + 1. 1. Вычислить матрицу (Л* )) и доказать утверждение: при \q\ < \р\ матрицы Л( ) в некотором смысле хорошо обусловлены, а нри \q\ > \р\ и т больших плохо обусловлены. 2. Выписать явно решение системы Л х - Ъ через правую часть. 3. Выписать явно через правую часть b вектор х, минимизирующий Функционал (Л( )х - Ь, Л( )х - Ь) -I- а(х, х). 4. Попытаться качественно описать эффект, достигаемый за счет применения такой регуляризации. Объясним еще одну причину, по которой стараются избегать симметризации матриц, предложенной в § 6. Сначала посмотрим, что происходит, когда операция симметризации применяется формально в случае симметричной матрицы. Тогда Л = Л и ЛЛ = Л. При возведении матрицы в квадрат собственнью значения возводятся в квадрат, поэтому при ЦЛЦ = Л2 имеем 2ч тах\ХА2\ (тахЛл) 2 minA. (шшЛл)2 - 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 [101] 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |