|
| |
|
Слаботочка Книги собственное значение соответствует отыскиваемому собственному значению матрицы А. Рассмотрим случай, когда все собственные значения матрицы А вещественны. Если требуется найти максимальное или минимальное значение матрицы А, то следует взять д{А) = А + сЕ. Очевидно, что при достаточно больших положительных (отрицательных) значениях с максимальному по модулю собственному значению матрицы А + сЕ соответствует максимальное (минимальное) собственное значение матрицы А. В случае задачи 4 при некотором с максимальное по модулю собственное значение матрицы Е - с{А - ХЕ) соответствует отыскиваемому собственному значению матрицы А. Иногда в качестве такой матрицы (/(А) может использоваться матрица (А - ХЕ)~. При этом матрица (А - ХЕ)~ не выписывается в явном виде, а необходимые по ходу вычислений векторы [А - ХЕ)~у находят, решая систему уравнений [А - ХЕ)х = у. Рассмотрим типичную задачу отыскания двух максимальных по модулю собственных значений матрицы А. Для простоты предполагаем наличие полной системы собственных векторов е-: ABj = XjBj, Ail > IA2I > Аз > А . Зададимся некоторым вектором х и будем последовательно вычислять векторы х + = Лх . Представим х в виде х° = Cje-j; имеем х = ;сЛ е, = JQAej. i=i i=i Отсюда следуют соотношения x =:ciAei + 0(A2r), (х ,х ) = (ciAJei-f 0((А2П, ciAi-f 0(А2П) = IciplAip +0(А1ПА2П, (x +\x ) = (ciA+4 + 0(A2r+),ciAi-fO(A2 )) = = AicipAip + 0(AinA2n. Положим XY = (X +S X )/(X , X ). Из последних соотношений при ci ф (\ получаем ( ) Ах cf Af + 0(Ai 1А2Г) О 11 )) , п(Л - cfAf-HO(Ai A2 ) - 1о/1Л2 \ / Vc? Ai J Задача 1. Доказать, что в случае симметричной матрицы А = Ai -Ь 0(A2/Aip ). Кроме (1) имеем Их ciA- + 0(A2 ), ciAi- + 0(A2 ) = f ei + О
здесь ipn = arg{ciA }. Таким образом, в ходе этого итерационного процесса также получаем собственный вектор, соответствуюгций Аь Может случиться, что у матрицы А имеются два максимальных но модулю собственных значения Ai А2, Ai = IA2I > Аз > ... В этом случае величина А будет устанавливаться только в частном случае, когда ci или С2 равно нулю. Если заранее известно, что таких собственных значений два, то их и соответствуюгцие им собственные векторы можно л (и) Ы) также определить, анализируя поведение А и . Рассмотрим типичный случай, когда Л, Ai, А2, х* вещественные, Ai > О, Aj = -А2. Тогда х = ciAiei + C2(-Ai) e2 + 0(АзГ), х +2 = CiA/+2ej + c2(-Ai) +2e2 + 0(Аз ) = = Af (ciAei + C2(-Ai) e2) + 0(АзГ). Отсюда получаем, что дМ х )/(х , х ) = А? + 0(Аз/А1Г). При А > О полагаем Х[ 2 = ±\/А( ). Имеем 2ciA;+iei + 0(АзГ), поэтому el =zrVlK+4l = ei+0{A3/Air). Точно так же +1 +1 ( )( ) 2с2А+1е2 + 0(АзГ) 4 = ГПКЧ - 2 -Ь 0(Аз/А1Г). Если Aj - собственные значения матрицы А, то у сопряженной матрицы А* собственным значением будет А ; при этом если Ae-i = AjCj, A*g.7 = Xjgj, Xi ф Aj, то (ei, gj) = 0. Поэтому при Ai > IA2I > Аз ... для нахождения собственного значения А2 можно поступать так. Получив приближение ei w ei, аналогично определяем приближение gi к вектору gi и нормируем его условием (ёх, gi) = 1. Далее ведем итерации по формулам у = Лу ; для исключения компоненты, пропорциональной ех, время от времени векторы у ортогонализируем по отношению к вектору gx, т.е. начальным для последуюш,их итераций вместо у берем вектор Уп = Уп - (Уп, gi)ei. Естественно, что сходимость итерационного процесса лучше, если в начальном приближении y = diei слагаемое 22 преобладает над i.=\ остальными слагаемыми. Возьмем из описанного выше итерационного процесса отыскания Ах и ех некоторое приближение х. Вектор у = х - (х, gx)ei примем за начальное приближение. Не следует брать I слишком малым, иначе компоненты Cj>jej при j > 2 не будут малы по сравненшо с сгАзег; в то же время не следует брать I очень большим, поскольку в этом случае компонента сгАзег будет малой по сравнению с вычислительной погрешностью. Часто можно встретить следующее высказывание: если Ci = О, то описанный итерационный процесс, казалось бы, не должен давать приб.лижения, сходящиеся к максимальному по модулю собственному :?начению; однако в действительности из-за присутствия округлений в процессе итераций может появиться компонента, прогюрциональная Oj, и вследствие этого требуемый результат все равно будет получен. Реально при использовании современных ЭВМ с большой разрядностью может случиться, что после некоторого числа итераций в.лиярше вычислите.льной погрешности еще не будет существенно, в то время как величина СгА е будет мала по сравнению с сгА 62. Тогда Лх к, const х и можно сделать неверный вывод, что искомое первое собственное значение найдено. Поэтому в тех случаях, когда нет уверершости в правильности найденного собственного значения, следует провести еще один или несколько расчетов с другчми значениями у*. В ряде случаев появ.ление составляющей, пропорциональной ei, не является неизбежным даже в случае присутствия округлений. При решении проблемы собственных значений для дифференциальных и интегральных операторов иногда возникают матрицы А со специфическими свойствами. Например, часто встречается случай, когда при всех г, j выполняется равенство у = am-l-l-t,m+l-j- (2) Для определенности рассмотрим случай четного т. Назовем четными векторы X, компоненты которых связаны равенством a,j = Xm+\-i, i = 1,..., m, и нечетными-равенством Xi = -Xm+i-i- При условии (2) вектор Лх четен, если х четен, и нечетен, если х нечетен. Поэтому подпространства четных и нечетных 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 [104] 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |
||||||||||