|
| |
|
Слаботочка Книги /(ж) (ж) = 4. В задачах планирования экспериментов в биологии, физике, химии, географии, медицине и других областях науки возникает следующая проблема. Известен вид хорогпего приближения функции, например функция хорошо приближается многочленом второй степени. В то же время измеряемые значения функции содержат большие погрешности. Требуется получить наилучшее в определенной норме приближение при минимальном числе измерений значений функции. 5. Задача приближения появляется при составлении стандартных программ вычисления элементарных и специальных функций. Обычно такие функции обладают свойствами, позволяющими резко уменьшить объем вычислений. Возникающая здесь проблема может быть сформулирована следующим образом. Рассматриваются все функщш (ж), программа вычисления которых требует некоторого фиксированного объема памяти ЭВМ, такие, что некоторая норма погрешности / - не превосходит е. Среди всех таких функций нужно выбрать ту, вычисление которой требует минимальных затрат времени ЭВМ. В зависимости от обстоятельств норма может выбираться по-разному. В большинстве случаев берется f = sup /, где [а, ь] - отрезок, на ко- [а,Ь] тором приближается функция. Если узлы интерполяции выбраны далеко от момента времени, где приближается функция, то тем самым слабо используется существенная информация о поведении переменной в последнее время. Если они выбраны очень близко, то увеличивается роль погрегпностей в используемой информации. Таким образом, вопрос о выборе узлов интерполяции и экстраполяции непрост, особенно в задачах, где значения исследуемой функции зависят от многих случайных или трудно учитываемых факторов. Сюда относятся задачи прогноза погоды, урожайности, медицины и т.д., в которых, как правило, требуется применять более сложные (в частности статистические) методы прогнозирования. 3. Наиболее часто используется рассматриваемая ниже интерполяция многочленами. Однако это не единственный возможный вид интерполяции. Иногда удобнее приближать функции тригонометрическими полиномами; в других задачах целесообразнее приближать многочленом не /(ж), а In/(ж), или приближать /(х) не многочленом от ж, а многочленом от In ж. Часто целесообразно использовать интерполяцию дробно-рациональными функциями Довольно часто требуется повышенная точность в отдельных точках. Например, одна из стандартных программ вычисления sin./; обеспечивает малость погрешности в норме 11/11= sup \p{x)f{x)\, p(.x) = mm{10i,x-}. [0,7г/2] Введение множителя р{х) вызывается требованием малости относительной погрешности значений sinx при малых х. Точно так же по-разному может толковаться требование минимальности затрат процессорного времени ЭВМ. Затраты, вообще говоря, могут зависеть от точки, в которой вычисляется значение функции. Обозначим их через t(x). Если не имеется информации о том, с такой частотой вычисляются значения функции в тех или иных частях отрезка, то, например, можно в качестве общей меры затрат принять Т = supi(a:). Если такая информация есть, то можно принять Г = M{t{x)), где М(х-)) -математическое ожидание случайной величины t{x). 6. При задании функции графиком или сложным аналитическим выражением возникают вариационные задачи других типов. Например, пусть решено разбить отрезок [а, Ь] на / частей: [oi-i, Ог], г = 1,..., ао = О; Щ - Ь, и на каждом отрезке [aj i, приближать функцию многочленом степени rij. Среди таких способов приближения отыскивается оптимальный в том или ином смысле. Чаще всего заранее накладьгоается требование щ = п, фиксируется число отрезков разбиения / и проводится оптимизация метода по ai,...,aj i. В частном случае 1=1 возникает задача наилучшего приближения многочленами. Об этой задаче речь пойдет в гл. 4. 7. Вид приближающей функции существенно зависит от цели, с которой осуществляется приближение. Предположим, что с требуемой точностью функция может быть приближена многочленом десятой степени или выражением ai sm{ivix+(pi)+a2sin{uj2X+(p2)- Если полученное приближение используется в теоретических исследованиях, для решения задачи на моделирующем устройстве или в технологическом процессе, то вторая форма записи может быть более удобной. Однако если значения функции вычисляются на ЭВМ, то вторая форма janncn может потребовать при своей реализации большего числа арифметических операций. Далее будет конкретно рассмотрена задача интерполирования многочленами. Ее вьщеление вызвано наличием непосредственных многочи- § 2. Интерполяционный многочлен Лагранжа Среди способов интерполирования наиболее распространен случай линейного интерполирования: приближение ищется в виде g{x;ai,..., а ) = Yanpiix), где (х-)- фиксированные функции, значения коэффициентов щ определяются из условия совпадения с приближаемой функцией в узлах интерполяции Xjl fij) = E (j) i = 1> , (1) Метод решения задачи, при котором коэффициенты а, определяются непосредственным решением системы (1), называется методом неопределенных коэффициентов. Как правило, в методе неопределенных коэффициентов число заданных условий равно числу свободных (неизвестных) параметров, подлежащих определению. Наиболее изучен случай интерполирования многочленами J2aix-\ (2) Тогда (pi{x) = x~, i = l,...,n, и система уравнений (1) имеет вид J2aixy=f{xj), j = l,...,n. (3) Далее мы предполагаем, что все Xj различные. Определитель этой системы det[a;*~] отличен от нуля (определитель Вандермонда). Следовательно, система (3) всегда имеет решение, и притом единственное. Та- елейных приложений, а также и следующими обстоятельствами: аппарат интерполирования многочленами является важнейшим аппаратом численного анализа; на его основе строится большинство методов решения других задач; его роль в численном анализе аналогична роли формулы Тейлора в классическом анализе. Попутно будут рассмотрены некоторые другие вопросы общего характера, имеющие значение для других разделов численного анализа. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 [11] 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |