|
| |
|
Слаботочка Книги   Рис. 7.4.1 Рис. 7.4.2   Рис. 7.4.4 жения Х° и Х. Из рис. 7.4.3 видно, что эти приближения будут лежать в многообразии, расположенном в окрестности осей второй группы. Процесс итераций состоит в получении последовательных приближений Х, Х,..., лежащих в окрестности этого многообразия. В случае 2 = 1 приближение Х+ отыскивается следующим образом. Проведем через Х и Х прямую и найдем приближение х+ к точке минимума Ф{х) на этой прямой. Таким образом, это приближение ищется в виде х+1 = хЧ а(Х - Х-1). Далее проводим несколько итераций исходя из х+ и получаем приближение Х+, также лежащее в овраге. В случае т2 > 1 приближение х иногда удобно отыскивать в виде х+1 = X Н- a{X - Х) + /? grad Ф(Х). Из рис. 7.4.4 видно, что описанный способ оказывается эффективным и в ряде случаев, когда линии уровня функции Ф(х) имеют более сложную структуру Решение системы уравнений fiixu ...,Хгп)=0, i = 1,..., гп, (2) также формально сводится к последовательному решению уравнений с одним неизвестным. Рассмотрим систему уравнений fi{xi,..., Хт) = О, i = 2,...,?7l, (3) относительно неизвестных Х2,--.,Хт- Пусть X2{xi),..., Xm{xi) - ее решение. Подставляя выражения X2{xi),..., Xmixi) в первое из уравнений (2), получим уравнение Fiixi) = fi(xi,X2{Xi),...,Xmixi) =0 (4) относительно одной неизвестной xi. Отыскание значений X2{xi),..., Xmixi) и решение уравнения (4) можно проводить численно. Выбирается какой-то метод решения (4) по значениям функции F{xi); при каждом требуемом значении xi в результате решения (3) получаются значения жг (2-1),..., aVnCi), которые подставляются затем в правую часть (4). Для решения системы уравнений (3) при каждом значении xi применим тот же прием. Пусть хз{х1, Х2), ., Xm{xi, Х2) - решение системы уравнений fi{xi,... , Хт) = о, г = 3, . . . , 771, (5) относительно неизвестных жз,..., Хт- Подставляя жз(ж1, жг),..., ж(ж1, жг) во второе уравнение системы, получим уравнение 2(3:1, Ж2) = /2(2.1, Х2, Жз(ж1, Ж2), ..., Ж (Ж1, Ж2)) = 0. При каждом Ж1 это уравнение может быть разрешено относительно Ж2. Его решение Ж2(ж1), а также жз(ж1, Ж2(ж1)),..., ж(ж1, Ж2(ж1)) образуют решение системы (3). Систему (5) при каждых xi, Х2 опять решаем, сводя к системе, где число неизвестных нг единицу меньше, и т.д. Если для решения каждого вспомогательного уравнения с одной неизвестной потребуется s вычислений функций, то суммарно этот алгоритм потребует порядка 5 * вычислений правых частей уравнений системы. По поводу реального применения этого алгоритма можно сказать все то же, что и по поводу применения описанного в начале параграфа метода минимизации. Задача 1. Рассмотреть, во что переходит описанный метод в случае, когда система уравнений (2) линейная. Ф(х) dt = (gi&d Ф(х), = -(grad Ф(х), grad Ф(х)), (2) означающего, что dФ{x.)/dt < О всюду, за исключением стационарньос точек функции Ф(х). Другой нестационарный процесс, решение которого при весьма общих предположениях устанавливается к точке минимума функции Ф(х), опи-сьшается системой дифференциальных уравнений dx dx , ч + 7- + grad Ф(х) = 0, 7 > 0. (3) Для решений этой системы имеем d /1 /dx dx\ , \ (dx (fx\ если только dx/dt ф 0. Функцию Ф(х) в первом случае и ( -, -7-) + 2 \ dt dt J (х) -во втором можно рассматривать как энергию материальной системы, движение которой описывается системами уравнений (1) и (3). Соотношения (2) и (4) показьюают, что рассматриваемые нестационарные процессы характеризуются оттоком или, как говорят, диссипацией Энергии. § 5. Решение стационарных задач путем установления распространенным методом решения стационарных задач является метод установления. В этом случае для решения стационарной задачи строится нестационарный процесс, решение которого с течением времени оказывается независимым от него и устанавливается к решению исходной стационарной задачи. Рассмотрим систему дифференциальньпс уравнений -+Ега(1Ф(х) = 0. (1) Вектор dx/dt пропорционален градиенту функции Ф(х), т.е. ортогонален ее линиям уровня и направлен в сторону убывания значений функции ф(х). Таким образом, при перемещении вдоль траектории системы (1) значение Ф(х) не возрастает. Формально справедливость этого утверждения следует из неравенства 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 [113] 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |