|
| |
|
Слаботочка Книги 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 [114] 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 Чтобы прояснить вопрос о разумном выборе 7, рассмотрим простей-Шую модель: х - скаляр, Ф(х) = -7--; тогда (3) приобретает вид х + 7ж + ах = 0. Соответствуюш;ее характеристическое уравнение X+jX + a= О, 7 /7 его корни Ai,2 2 V ~4- Р 7 2а обш;ее решение есть ci expjAiiJ} + сг ехр{А2}. Скорость убывания решений рассматриваемого уравнения определяется величиной сг(7) = max(ReAi,ReA2). При 7 2а имеем 7/4 - а О, и поэтому ReAi = ReA2 = сг(7) = -7/2 > -а. При 7 > 2а величины Ai и А2 веш,ественны и ReAx -2 + 2 > кед 1 Тогда a(7)=ReAi = --fb 2 (2а,-а) Рис. 7.5.1 > - > -а. Таким образом, график u(pj) имеет вид, лО изображедаый на рис. 7.5.1, и mincr(7) = гг(2а) = -а. Из результатов рассмотрений этой модельной задачи можно сделать следующие качественные выводы. 1. Если коэффициент трения 7 очень мал (в нашем случае 7 -С 2а), то решение системы (3) медленно устанавливается к положению равновесия; при этом (вследствие условия ImAi, 1шА2 ф 0) происходят колебания около положения равновесия. 2. Если 7 велико (7 2а), то решение также медленно устанавливается; причина состоит в том, что при большом коэффициенте трения 7 движение не может приобрести большой скорости. 3. Оптимальное значение 7 лежит где-то посередине и зависит от свойств конкретной функции Ф{х). Метод установления с помогцью решения системы (3) иногда называют методом тяжелого шарика. Это название обусловлено следуюш,ими соображениями. Рассмотрим движение материальной точки по поверхности у = Ф(ж) в поле тяжести, направленном в отрицательном направлении оси у. Предположим, что трение пропорционально скорости и точка не может отрываться от поверхности. Тогда ее движение опишется системой уравнений dx dx grad$(x) WHt l + \\ grad$(x)2 ~ Ясно, что решение этой системы с течением времени установится к некоторой стационарной точке функции Ф(х). Вблизи экстремума gтadФ(x) <С 1 эта система близка к системе (3). Большинство известных методов установления описывается уравнениями вида Ло(Х, 0)70, A(X,O,O) = 0, Бо(Х,0)0, Bi(X,O,O) = 0 и выполнены условия диссипативности, обеспечиваюш,ие сходимость к точке экстремума X. Вообш;е говоря, можно обратить операторы Ар и -Во и преобразовать эти уравнения к виду, где Ар я Bp - тождественные операторы. Однако исходная форма записи часто практически удобнее. Может показаться, что построение таких нестационарных процессов, устанавливающихся к решению, уже полностью решает проблему отыскания минимума функции. Осталось лишь найти решение получившейся системы дифференциальных уравнений, используя какой-либо из численных методов решения задачи Коши. В действительности сведение решения стационарной задачи к решению нестационарной не всегда дает удовлетворительное решение проблемы минимизации. Остается еще неясным существенный вопрос о выборе величины шагов численного интегрирования. Предположим, что решение нестационарной задачи устанавливается с требуемой точностью к решению стационарной за некоторый промежуток времени Т. Если интегрирование производится с малым шагом А, то получаемые расчетные точки будут близки к рассматриваемой траектории и можно рассчитывать на попадание в малую окрестность точки минимума. Однако при этом число   Рис. 7.5,2 Рис. 7.5.3 шагов Т/А может оказаться недопустимо большим (рис. 7,5.2). Если шаг интегрирования берется очень большим, то может случиться, что расчетные точки начнут сильно отклоняться от рассматриваемого решения и никогда не попадут в искомую окрестность точки минимума (рис. 7.5.3). Метод установления применим не только к задачам на экстремум функционала, но и к любым стационарным задачам F(x) = 0. Строится некоторый процесс вида (5) или (6), где вместо gTad$(x) стоит F(x), и такой, что x(t) -> X при t -+ оо, X - корень уравнения F(X) = 0. Рассмотрим подробнее случай системы линейных уравнений Лх-b = О в предположении, что жорданова форма матрицы диагональная и все ее собственные значения Л,; лежат в пределах О < Ai Аг ... М, где ei,... , Cm - соответствуюпще собственные векторы, образуюш,ие полную систему. Напишем простейшую аппроксимацию метода установления на временной сетке с постоянным шагом + (Лх - Ь) = О. Соответствующая расчетная с1юрмул?1 х +1 = х - г(Лх - Ь) совпадает с расчетной формулой из § 6.3. Погрешности г = х - X удовлетворяют соотношению г + = (£? - гЛ)г . При г - JCjej име- ем г = Cj(l - rAi) ej и скорость убывания погрешности определяется 1 величиной шах1 - тАф Там уже было установлено, что наиболее це- лесообразно брать г = 2/{р + М), и тогда можно утверждать, что погрешность ведет себя как 0(((М - 1л)/{М + /х)) ). Метод наискорейшего спуска можно также рассматривать как аппроксимацию метода устано- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 [114] 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |