|
| |
|
Слаботочка Книги вления, но уже на сетке с неременным шагом: х + = х - г (Лх - Ь); шаг Тп определяется каждый раз из условия т1пФ(х ). Рассмотрим аппроксимацию метода установления dx dx . , . на временной сетке с постоянным шагом х +1 - 2х + х -1 х +1 - х -1 , , , , --2-+7--+ (х - Ь) = 0; О < 7 - скалярный множитель. Погрешности г удовлетворяют соотношениям on , n-l 71+1 71-1 --+ -Yr-+ = 0. (8) Разложим векторы г по собственным векторам матрицы А: Подставим выражения г ~, г , г + в (8); поскольку векторы е независимы, то коэффициенты нри них обрагцаются в нуль и получается система соотношений Решения этих разностных уравнений записываются в виде если z\, 2;2~простые корни характеристического уравнения -7-+7 + Ai = 0, (9) и в виде c2 = c}{z\r + cM4r. если корень (9) кратный. Во всех случаях определяюхцим фактором убывания г является величина шах (шах(2;, jjD), которую можно мажорировать сверху величиной g5gz(A). (10) где г;(А) -максимальный но модулю корень уравнения z-2z + l 2-1 , -7-+ 7- + А2г = 0. л/М + J (ч/М + ) (х - х -1) - -==---(Лх - Ь). (11) = x -t- Можно подобрать г и 7 так, чтобы итерационный процесс совпадал с рассматриваемым. Для этого следует взять Таким образом, в рамках схемы установления с постоянным 7 можно получить итерационный процесс, несуш;ественно отлшчаюш;ийся от оптимального линейного процесса. Обратим внимание на поведение корней z{X), соответствуюш,их (11); имеем характеристическое уравнение Запишем это уравнение в виде - А{Х)г + ц1 = О, но = [yfM - 1(л/М + Здесь Л(А)- линейная функция от А, причем Л(М) = -2/хо, А{р) = 2 о-Следовательно, Л(А) < 2/io при р. < X < М. Поэтому i 2(/v.) = fio, MX) lfMX)V ~o zi,2) = -fio, zi2{X) =--~ ± \ [-~Y~) ~~ 0 имеют ненулевую мнимую часть и 2;i2(a) = /о при р < X < М. Таким образом, указана совокупность коэффициента 7 и шага г, для которой \z{X)\ = (v/M- 1{л/М + ). Неулучшаемость этой оценки усматривается из оценки скорости сходимости оптимального линейного итерахщониого процесса. 2у/Мр Мы не будем приводить полного решения задачи на экстремум (10), а ограничимся наводяш;ими соображениями и вьшисьшанием ответа. При = х + о;(Лх° -Ь) приближения х записываются в виде (6.6.2). Поэтому рассматриваемый итерационный процесс не можег дать лучшего приближения, чем оптимальный линейный итерационны{1 процесс (6.6.19). При 71 -> оо оптимальный линейный итерационный процесс переходит в итерационный процесс (6.6.23), который с учетом явного выражения Ао = (1 -Ь у /М)/(1 - \/JifM) может быть записан в виде можно интерпретировать как получившееся при аппроксимации системы = -(F(x))-F(x). (13) Решение исходной задачи является стационарной точкой этой системы. При x = X -Ь ?7 имеем (F(x))- = (F(X))-40(M), F(x) = F(X) + Fix)rj + OiWrjf) = F(X)77 + 0(77f). Таким образом, Отсюда следует, что x = X является асимптотически устойчивым решением (13). Заменяя производную dx/dt разностным отношением но значениям Функции в некоторых точках to = 0, ti,.--, получаем соотношения = -(F(x ))-F(x ), A = tn+i-f.n, An Иначе, = - A (F(x ))-F(x ). (14) Как аналог метода сопряженных градиентов в случае минимизации функционала Ф(х) общего вида можно рассматривать следующий метод: последующие приближения ищутся в виде On и Рп определяются из условия min Ф(х ). On Фп Соответствие между методами решения стационарных задач путем установления и обычными итерагщонными методами позволяет строить новые итерационные методы или новые процессы установления. Рассмотрим, например, расчетные формулы Ньютона х +1 - х - (F(x )) F(x ) (12) решения системы нелинейных уравненш ! F(x) = 0. Этим формулам можно дать следующую интерпретацию: введем непрерывное время t и будем рассматривать величины х как значения некоторой функции в моменты времени tn ~ п. Тогда соотношение (12), переписанное в виде = -(F(x )) F(x ), 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 [115] 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |