Слаботочка Книги

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 [117] 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208

Если яма , где находится точка минимума, очень узкая, то иногда и не стоит искать эту точку минимума. В самом деле, пусть, например, параметры xi отвечают некоторой реальной работающей системе управления. В работе этой системы неизбежны некоторые сбои, т.е. изменения этих параметров. Если точка минимума функции Ф находится в такой узкой Рис. 7.6.3 яме , то малые сбои могут существен-

но испортить характеристики работы системы. В свете вышесказанного выбор точки экстремума в случае, изображенном на рис. 7.6.3, требует дополнительного изучения.

Некоторые исследователи, обладающие большим опытом решения практических задач оптимизации, утверждают, что подобные целевые функции с узкими ямами возникают обычно в случаях, когда математическая модель рассматриваемого явления построена неудачно.

Более существенные причины для оптимизма состоят в следующем. Во многих случаях создание математической модели и ее оптимизация зачастую имеют целью улучшение работы уже существующей системы. В этих случаях параметры реальной системы часто являются хорошим приближением для дальнейшей оптимизации.

При разработке новой системы типична следующая линия поведения. Сначала строится и оптимизируется простейшая модель, учитывающая важнейшие факторы. Затем модель постепенно усложняется за счет учета все новых и новых факторов. Таким образом, последовательно возникают задачи минимизации функций все большего числа параметров. При удачном построении вспомогательных моделей решение каждой из этих задач оптимизации обычно оказывается хорошим начальным приближением для следующей по сложности задачи.

Это обстоятельство часто используется следующим образом. Пусть перед нами стоит задача минимизатщи функции большого числа параметров xi,...,Xn- Построим функцию меньшего числа параметров Xi,...,Xm, т < п, приближающую рассматриваемую функцию, иначе - упрощенную модель с определяюпщми параметра]уш Xi,...,X, . Щюизве-Дем оптимизацию этой функции (модели) и на основе ее решения сконструируем начальное приближение. Иногда оказывается полезньпи произвести несколько шагов такого упрощения функции (модели) и введения новых параметров.

Оптимизация функций (моделей) меньшего числа параметров оказывается более легкой по следуюгцим двум причинам: становится проще структура линий уровня минимизируемой функции; вычисление каждого значения функции обычно требует меньшего объема вычислений.

При построении упрощенных моделей в первую очередь следует учитывать наиболее важные параметры задачи.

Что такое важность факторов или параметров? Можно говорить, что важными параметрами являются те, от которых функция сильно зависит. На языке математики это означает, что производные функции по этим параметрам относительно велики. Второстепенными параметрами являются те, от которых рассматриваемая функция зависит слабо, т.е. производные по которым малы. Формально важность параметров можно определить, оценивая производные рассматриваемой функции. Однако для сложных задач такая оценка и особенно математически обоснованный выбор новых параметров Xi,...,X, весьма трудоемки. Характеристика параметров по более наглядному критерию -их важности - дает возможность руководителю производственной системы подсказать математику первоочередность выбора параметров.

Иногда приемлемый метод оптимизации или способ отыскания хорошего начального приближения можно получить, изучая принципы, которыми руководствуются в своей работе опытный практический работник или руководитель, или приемы их работы.

На одном новом заводе долгое время не удавалось наладить ритмичное производство из-за недостаточного опыта работы операторов. Попытки создания модели производственного процесса, достаточно точной, но в то же время поддающейся анализу средствами математики с помощью ЭВМ, не приводили к успеху. В конце концов пришлось временно отказаться от разработю! математической модели и пойти по следующему пути автоматизации и оптимизации производства. В память ЭВМ были записаны режимы работы лучших операторов на родственных предприятиях. Далее, в зависимости от имеющихся на данный момент условий, машина выбирала режим работы, наиболее близкий к режиму работы одного из лучших операторов. Такое мероприятие позволило устранить возникшие трудности.

В другой аналогичной ситуации руководство предприятием не пошло по такому пути. Оно настойчиво требовало от математической группы разработки универсального алгоритма, который по заданным внешним характеристикам конструируемого прибора выдавал бы оптимальный набор внутренних параметров прибора: расположение и размеры деталей конструкции, вес и т. п. Предлагавшиеся математиками алгоритмы оптимизации не оказывались универсальными и в большинстве случаев не приводили к приемлемому решению. Математики предложили подход к решению задачи, имитирующий реальную ситуацию. Конструктор задает компоновку деталей прибора. Компьютер обсчитывает внешние характеристики прибора и выдает их конструктору. На основании полученной информации конструктор вносит изменения в компоновку. Такой диалоговый режим работы позволил бы отказаться от дорогостоящего реального конструирования прибора и его испытаний. Руководство предприятия от1 1залось от такого подхода к решению проблемы и потратило много времени на бесплодные поиски более квалифицированных математиков, способных предложить универсальный бездиалоговый алгоритм решения 1 13авшейся ему столь простой задачи. Большие материальные затраты и потеря темпов в разработке новой техники в конце концов привели к попима-

нию того, что предлагавшийся математиками путь решения задачи на данном этапе понимания проблемы был единственно возможным.

Конструкторы приобрели опыт в таком режиме работы. Математикам, анализируя диалог конструкторов с ЭВМ, удалось понять принципы, которыми конструкторы руководствуются при компоновке деталей, и заложив эти принципы в основу алгоритма решения задачи, создать бездиалоговый, чисто машинный сшгоритм оптимизации конструкции.

Способы нахождения начального приближения и сами итерационные методы часто имеют аналогию с какими-то реальными процессами и в других явлениях. Работа зрительного аппарата и мозга при отыскании какого-либо предмета, по-видимому, организована по следующей схеме. Сначала производится беглый осмотр всего поля зрения в крупном масштабе, на основании полученной информации выбирается участок для дальнейшего просмотра, затем производится просмотр этого участка в крупном масштабе и т.д. Обратим внимание на сходство с методами из § 3.16 и § 4 данной главы.

При необходимости развивать исследования новых трудных задач важное значение имеет правильная организация научных исследований. Если в основном ясно, в каком направлении нужно развивать исследования, ко1щентрация научных усилий обычно производится в этом направлении. Если наиболее рациональный путь к намеченной цели еще не определился, то часто прибегают к дублированию исследований. Несколько независимых организаций ищут решение, каждая на своем пути, иногда без постоянного обмена информацией. Хотя на первый взгляд кажется, что взаимный обмен информацией всегда полезен, постоянный обмен ею может и помешать возникновению и продвижению оригинальных решений проблемы.

Существует гипотеза (необщепризнаиная), что сходным образом работает мозг при решении какой-либо проблемы: получаемая информация фиксируется не вполне детерминированным образом в различных его участках; в то же время в каждый момент работы над проблемой эта информация извлекается лишь из люкализованного участка мозга.

По аналогии со сказанным выше напрашивается следуюпщй подход к решению задачи оптимизации (а также и любых других задач) в случае, если требуется срочное получение результата. Для решения задачи поочередно или независимо используются несколько известных методов решения подобных задач. В обоих случаях, при поочередном или при независимом использовании, алгоритмы Ар, р= 1,...,/, работают циклически; длительность tpq промежутка времени, в течение которого алгоритм Ар работает д-й раз, задается пользователем или определяется в процессе работы. При поочередном использовании каждый алгоритм начинает минимизацию с приближения, полученного предшествующим алгоритмом. При независимом использовании каждый алгоритм начинает минимизацию с приближения, полученного в результате предшествующе-

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 [117] 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208