|
| |
|
Слаботочка Книги го применения данного алгоритма. Таким образом, в этом случае алгоритмы работают по принципу кто бьютрее . Режим независимого использования алгоритмов является аналогом параллельной работы организаций при отсутствии взаимного обмена информацией. Как аналог реальной организации научных исследований с обменом информацией в дискретные моменты времени может рассматриваться следующий режим работы. В начале каждого промежутка времени tpq алгоритм Ар просматривает некоторую совокупность приближений из полученных всеми алгоритмами и выбирает наилучшее приближение исходя из своих позиций. Например, он может просматривать все приближения последнего цикла или приближения, полученные алгоритмами в концах всех промежутков tij. Иногда может принести пользу следующая организация работы: после получения алгоритмом Ар приближения, очень хорошего с позиций алгоритма Ag-, п1)едоставляется время для работы алгоритма Ag. Конечно, не следует думать, что иепосредствешюе копирование различных реальных систем всегда позволит наилучшим образом решить рассматриваемую оптимизационную задачу. Подведем общий итог наших рассуждений. Обычно задачи оптимизации функций большого числа переменных очень трудны; при решении новых задач приходится затрачивать много, иногда бесплодшых, усилий, производя пробные просчеты по различным известным и новым алгоритмам. Однако при наличии таких благоприятных факторов, как контакт с практическими работниками и возможность анализа упрощенных моделей, есть все основания сохранять уверенность в благоприятном исходе попыток решения задачи. Заметим, что часто для успешного решения задач оптимизации необходим диалоговый режим работы иссшедователя с ЭВМ. Не имея перед собой конкретной задачи, невозможно дать рекомендацию, каким методом решения системы нелинейных уравнений или минимизации функций следует воспользоваться. Как уже отмечалось выше, велика возможность столкнуться с ситуацией, когда область сходимости метода (множество значений нулевого приближения, при которых метод сходится) очень мала. Опыт решения подобных задач показывает, что в первую очередь стоит попробовать применить методы, имеющие естественную наглядную интерпретацию, например метод установления, или методы, имитирующие действие человека или животного в подобной ситуации. Для выбора начального приближения надо также привлечь естественные наглядные соображения, имитирующие такие действия. На таком пути часто удается довольно быстро построить алгоритм, позволяющий решить задачу. При однократном решении простых задач иногда проще всего применить простейший итерационный метод, например Ньютона, с вьщачей на экран хода итерационного процесса. Задаваясь различными начать- ными приближениями, часто удается довольно быстро угадать начальное приближение, лежащее в области сходимости метода. При решении систем уравнений или задач минимизации, возникающих при аппроксимации краевых задач для дифференциальных уравнений, полезно воспользоваться близостью (в соответствующих нормах) решений таких дискретных задач, соответствуюпщх различным шагам сетки. Решение на крупной сетке является хорошим приближением для решения задачи, соответствующей более мелкой сетке. В то же время каждый шаг итерации на кх)упной сетке менее трудоемок, и с теми же затратами можно провести большее число шагов итерации, начиная с одного или со многих начальных приближений. Таким образом, в этом случае имеет смысл решать задачу на последовательности сеток, т.е. последовательно решать несколько систем алгебраических уравпепий (порядок системы rrij возрастает: irij+i > rrij). При этом регпение j-u системы используется для получения начального приближения Х к решению (j + 1)-й системы. Так как векторы Х и Х имеют, вообще говоря, различную размерность, то для перехода от Ху к Xj.j обычно используют интерполяцию многочленами или сплайнами. Аналогичный подход применим и к другим дискретным задачам, возникающим при аппроксимации задач, связанных с отысканием функций непрерывного аргумента. В ряде случаев, например при планировании, требуется многократно решать однотипные задачи, причем в режиме реального времени, т.е. решение задачи должно получаться с очень малым отставанием от изменения входных данных задачи. В этом случае для ускорения сходимости следует использовать все многообразие описапных нами методов. Литература 1. Васильев Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач.- М.: Наука, 1980. 2. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач.- М.: Наука, 1981. 3. Кармагюв В. Г. Математическое программ1фование. - М.: Наука, 1986. 4. Крылов В. И., Бобков В. В., Монастырный П. И. Начала теории вычислительных методов. Линейная алгебра и нелинейные уравнения. - Минск: Наука и техника, 1982. 5. Нестеров Ю.Е. Эффективные методы в нелинейном программировании. - М.: Радио и связь, 1989. 6. Ортега Д., Рейнболдт В. Итерационные методы решения систем уравнений со многими неизвестными.- М.: Мир, 1975. - Главке ============== Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений Задача решения обыкновенных дифференциальных уравнений сложнее задачи вычисления однократных интегралов, и доля задач, интегрируемых в явном виде, здесь существенно меньше. Когда говорят об интегрируемости в явном виде, имеют в виду, что решение может быть вычислено при помощи конечного числа элементарных операций: сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень, логарифмирования, потенцирования, вычисления синуса и косинуса и т.п. Уже в период, предшествовавший появлению ЭВМ, понятия элементарной операции претерпели изменение. Решения некоторых частных задач настолько часто встречаются в приложениях, что пришлось составить таблицы их значений, в частности таблицы интегралов Френеля, функций Бесселя и ряда других, так называемых специальных функций. При наличии таких таблиц исчезает принципиальная разница между вычислением функций sinx, 1п.г-, ... и специальных функций. В том и другом случаях можно вычислять значения этих функций при помощи таблицы, и те и другие функции можно вычислять, приближая их многочленами, рациональными дробями и т.д. Таким образом, в класс задач, интегрируемых в явном виде, включрлись задачи, решения которых выражаются через специальные функции. Однако и этот, более широкий, класс составляет относительно малую долю задач, предъявляемых к решению. Существенное расширение класса реально решаемых дифференциальных уравнений, а следовательно, и расширение сферы применения математики произошло с разработкой численных методов и активным повсеместным использованием ЭВМ. В настоящее время затраты человеческого труда при решении на ЭВМ задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений сравнимы с затратами на то, чтобы просто переписать заново формулировку этой задачи. При желании можно получить график решения или его изображение на экране. В результате этого для многих категорий научных работников существенно уменьшился интерес к изучению частных способов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений в явном виде. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 [118] 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |