|
| |
|
Слаботочка Книги 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 [120] 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 где у находится между у* и y(x + h). Вследствие предположения (5) эта величина имеет порядок 0{h). Таким образом, при условии (5) имеет место соотношение у{х + h) = у{х) + (/(ж, у{х)) +f{x + h, у*)) + Oih). Условию (5) удовлетворяет результат вычислений по формуле Эйлера У* = y{x)+hf{x, у{х)). Последние соотношения определяют пару расчетных формул У*+1 =yj + hf{xj, yj), = Уз + 2\f{3. Уз) + !{Хз+ь У*з+\))- При малых h выражение в правой части (4) удовлетворяет условию сжимаемости (§ 7.1), поэтому уравнение (4) также можно решать методом простой итерации: yj+/ = Уо + \[fiP3, Уз) + аз+ъ yt+i))- Если yji вычисляется по методу Эйлера: yj+l = yj + hf{xj, yj), то получаемое на первом шаге итерации, совпадает с yj+i, получа- емом по формуле (6). Дальнейшие итерации не приводят к повышению порядка точности по h; в то же время иногда главный член погрешности уменьшается при переходе от к y i- Если такое уменьшение погрешности компенсирует возрастание вычислительных затрат на шаге, то оно целесообразно. Можно предложить теоретически обоснованный критерий, позволяюший при малых h выбирать каждый раз наиболее целесообразное число итераций. Однако его использование требует очень большого объема дополните.льных вычислений. Поэтому выбор между числом итераций, равным 1 или 2, обычно осуществ-ляется на основе предшествующего опыта, вычислительного эксперимента или просто волевым образом. Построим другую пару формул с погрешностью на шаге такого же порядка. Интеграл в правой части (2) заменим по формуле прямоугольников: у{х + h)= у{х) + hy (з: + 0 + 0{h), или, что все равно, у{х + h)= у{х) + hf (х+,у(х + + 0{Ь). kgih) = hf(x + aqh, у + Pg,lklih) + + Vl и полагаем yix + h) zih) = у(ж) + Pikiih). Рассмотрим вопрос о выборе параметров aj, pi, Pij. Обозначим v{h) = yix+ h) -zih). Если /(ж, у)-достаточно гладкая функция своих аргументов, то ..., kqih) и (/i) - гладкие функции параметра h. Предположим, что /(ж, у) настолько гладкая, что существуют производные ipih),..., </?(*+)(/i), а at, pi, Pij выбраны так, что = = (*)(0) = 0. Кроме того, предположим, что существует некоторая гладкая функция /о(ж, у), для которой соответствующее значение уз(в-1-1)(0) ф 0. Согласно формуле Тейлора вьшолняется равенство Если то, как и в предшествующем случае, имеем у{х + h)= yix) + hf (х + у* + Oih). в качестве у* можно взять результат вычислений по формуле Эйлера с шагом у* = у{х) + /(а;, yix)). Этим соотношениям соответствует пара расчетных формул yj+i/2 = yj + f{xj, yj), h yj+i = yj + hf(xj + -, yj+1/2) Полученные методы относятся к семейству методов РунгеКутта, имеющих следующий вид. В процессе вычислений фиксированы некоторые числа 2, , (?, Рь Pij, 0<j<iq; последовательно получаем kiih) = hfix, у), k2{h) = hf(x + a2h,y + P2ih{h)), где О < в < 1. Величина (p{h) называется погрешностью метода на шаге, а S - порядком погрешности метода. При д = 1 имеем ifih) = у{х + h)- у{х) - pihfix, у), {0) = О, (0) = {y{x + h)~pif{x, у))1 = fix, ?/)(! -pi), V {h) = y {x + hy, здесь и далее у = у{х). Равенство (р{0) - О выполняется для всех гладких функций /(ж, у) лишь в случае pi = 1. Этому значению р\ соответствует метод Эйлера. Для погрешности этого метода иа шаге, согласую (8), получаем выражение Рассмотрим случай q = 2. Имеем ip{h) у{х + h)- у{х) - pihfix, у) - P2hf{x, у), где X = X + аг/г, у = P2ihf{x, у). Вычислим производные функции ((/i): (p{h) = y{x + h) -p\f{x, у) -P2.f (ж, y)~Pih{a2fx{x, у) + + P2lfy{x,y)f{x,y)), {h) = y {x + h)- 2p2 {a2fr.{x, y)+P2yfy{x, y)f{x, y)) - --V2h{alf {x, y) + 2a2(hifxy{x, y)f{x, y) +РУуу{х, у)(/(ж, ?/))), cp {h) = y {x + h)- 3p2 [ajfAx, y) + + 2a2l32ifxy{x, y)f{x, y)+/3ljyy{x, 5)(/(ж, y)f) + 0{h). Согласно исходному дифференциальному уравнению y = f, y = f.+fyf, y = f.. + 2f,.yf + fyyf + fyy . Подставим в выражения (fih), ip ih), ip {h) значение /г = 0 и вос- пользуемся этими соотношениями; получим (0)=у-у = 0, P{0) = {l-Pl-P2)f{x, у), ip {0) - (1 - 2р2 2)/Дж, у) + {1- 2p2(32i)fy{x, у)fix, у), (9) (0) = (1 - Зр2 1)/.Да:, у) + {2- 6p2p2i)f.y{x, y)f{x, у) + + (1 - Sp2Pil)fyy{x, y){f(x, y)f + fy{x, y)y [,x). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 [120] 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |