Слаботочка Книги

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 [121] 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208

Соотношение (р{0) = О выполняется при всех /(ж, у), если

1-Р1-р2=0; (10)

соотношение ip {0) = О вьшолняется, если

1-2р2а2 = 0 и 1-2р2/321=0. (И)

Таким образом, ip{0) = (р{0) = (р {0) = О при всех /(ж, у), если выполнены три указанных выше соотношения (10), (11) относительно четырех параметров. Задавая произвольно один из параметров, получим различные методы Рунге-Кутта с погрегпностыо второго порядка малости по h. Например, при pi = 1/2 получаем р2 - 1/2, 2 = li Р21 = 1. что соответствует паре расчетных формул (6). При pi = О получаем Р2 - 1, а2 = 1/2, Р21 = 1/2, что соотвегствует паре расчетньгх формул (7). В случае уравнения у = у, согласно (9) имеем if {0) = у независимо от значений pi, р2, г, P2i- Отсюда следует, что нельзя построить формулы Рунге-Кутта со значениями q - 2 и s = 3.

В случае = 3 расчетных формул, соответствуюгцих значению s - 4, не сугцествует. Наиболее употребительна совокупность расчетньгх формул при q = S = 3:

kl = hf{x, у), к2 = hf (Х +,у+У

кг = hf{x + Ку- kl + 2/2), Ду = \{ki + 4к2 + кз).

При Q = 4, 5 нельзя построить расчетных формул рассматриваемого вида со значением s = 5; при q = s = 4 наиболее употребительна совокупность расчетных формул:

kl = hf{x, у), к2 = hf[x + ,y + M = hf (ж-f , У + у) , к = hf{x + h,y + кз), Ду = (1 + 2-2 + + h).

Мы использовали выше формулировку наиболее употребительный . Эта формулировка отражает исторически слол<ившуюся тенденцию в использовании численных методов. Казалось бы, в руководстве по численным методам следовало не просто отражать тенденцию, а указать, какая формула из данного семейства расчетных формул является наилучшей. Однако ответ на такой вопрос не прост-

У формул одинакового порядка точности по h главные члены погрешности на шаге часто оказываются непропорциональными. Например, вследствие (8), (9) главный член погрешности формулы (6) равен

(В - A)Л

В = Ifyy , А = (Д + 2f,yy + fyy{y)%

а у формулы (7) -

(Б + А/2)/г

Поэтому можно указать два уравнения таких, что для первого уравнения меньшую погрешность дает метод (6), а для второго уравнения - метод (7).

В подобной ситуации рекомендации в пользу того или другого метода должны основываться на волевом решении , принятом с учетом традиций и практики использования методов. Понятие практики вычислительной работы является довольно неопределенным. Число различных к.лассов реально встречающихся дифференциальных уравнений сушественно превосходит число задач, на которых производится сравнение методов их численного решения, поэтому суждения с позиций практики не всегда объективны. Однако несмотря на такую неопределенность, критерий практики часто несет в себе определенную положительную информацию, которая зачастую на данном этапе развития науки не мол-сет быть формализована или обоснована.

Если исторически первый из методов рассматриваемого класса оказался при-ем.лемым, то в дальнейшем пользователи привыкают к нему. Замена этого метода на другой, далж более эффективный метод требует определенных затрат времени на привыкание пользователей к новому методу (а следовательно, и опреде.ленных психологических затрат). Чтобы широкий круг пользователей согласился на подобную перестройку, необходимо существенное преимущество нового метода по какой-либо из характеристик.

При дальнейшем рассмотрении для нас будет существенно, что погрешность метода на шаге fih) имеет главный член, а именно справедливо представление вида

ip{h) = ф{х, y)h+ + 0(/i*+2). (12)

Наметим основные этапы доказательства этохо соотношения. Предположим, что правая часть и все ее производные до порядка s + 1 включительно ограничены равномерно в области G : xq х xq + X, - ос < у < оо. Тогда также будут равномерно ограничены производные всех решений уравнения до порядка s + 2 включительно. Согласно формуле Тейлора соотношение (8) можно записать в уточненной форме

Имеем равенство

<(*+1)(0) =.у(*+1)(0) -(+(0).

Обе величины у~\0) и z~\0) явно выражаются через значения в точке (ж, у) функции f vi ее. производных порядка не выше s; примеры таких явных выражений (при s = 2) мы уже получали.

§ 3. Методы с контролем погрешности на шаге

Часто в ходе расчетов бывает целесообразно изменять шаг интегрирования, контролируя величину погрешности метода на шаге. При практической оценке этой величины можно, например, рассуждать следующим образом. Главный член погрешности на шаге интегрирования есть

(.+1)(0)/1*+1

is+ 1)1

Точка {x+h, z{h)) находится близко от точки (.т, у), поэтому погрешность на следующем шаге интегрирования будет иметь такой же главный член. В результате двух шагов будет получено приближение к значению у[х + 2h) такое, что

yW - у[х + 2h) ~ 2

,(.+1)(0)/г*+1

Если, исходя из точки (ж, у), применить метод Рунге-Кутта с шагом 2/г, то получится приближенное значение у\ для которого

Из этих соотношений вытекает представление главного таена погрешности на шаге

y(i)-y(s + 2/z)~L lL .

При желании можно уточнить полученное приближенное значение, прибавив к нему величину главного таена погрешности, т.е. положить

y{x + 2h)y) + y J . (1)

Для более гибкого управления выбором шага интегрирования иногда Желательно иметь возможность совершать шаг интегрирования и оценивать погрешность при меньшем количестве вычисляемых значений правых частей.

Поскольку правая часть дифференцируема s + 1 раз, то отсюда следует, что функция ф{х, у) дифференцируема в области G и ее производные фх и фу равномерно ограничены в этой области. Аналогично устанавливается, что величина (р-\вН) равномерно ограничена при XQ X < X + h 4: Хо + X. Таким образом, соотношение (12) имеет место.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 [121] 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208