|
| |
|
Слаботочка Книги Согласно формуле Лагранжа разность f{x,Y2)-f{x,Yi) может быть представлена в виде fy(x,y)iY2-Yi), где у заключено между Yi и Уг. В результате получится линейное дифференциальное уравнение относительно Y2 - Yi- iY2-Yiy = fyixvy)iY2-Yi). (5) функция nx,Y2ix))-f{x,Y{x)) fy(x,y(x))- YAx)-Yi{x) непрерывна, поскольку числитель и знаменатель - непрерывные функции, а знаменатель отличен от нуля. Из (5) следует утверждение леммы. Пусть а = Xj, (3 = Хп, Y\{x) = t/j i(a;), Y2{x) = yj{x); тогда вследствие леммы Vjixn) - Vj-iixn) = (vjixj) - yj-iixj)) exp J fy{x, y[x)) dx , rp(s yj{x) заключено между yj-.i{x) и yj{x). Точно так же Уо{Хп) - У(хп) = (yoixo) - yixo)j ехр J fy(x, уо{х)) dx . Теперь равенство (4) можно записать в виде J? = a;jexpy fy{x, yj{x))dx + Roexp iJ fy{x,yo{x))dx, (6) где u)j = yj{xj) - yj-iixj), j = 1,... Из (3) вытекает соотношение = yjij) - yj-lij) =Pj+ j Pj = Xj-i, Xj - Xji, yji) - ljj-l{xj). Посмотрим, какой смысл имеет величина pj; Ф(/, Xji, Xj - а; 1, yj-i) есть число, получаемое в результате вычислений по расчетной формуле (2), уji{xj)- значение в точке Xj точного решения дифференциального Уравнения, удовлетворяюш;его условию yji{xj-i) = yj-i- Таким образом, Pj есть погрешность одного шага рассматриваемого метода, если вычисления начинаются с точки (xji, yj-\) и производятся без округлений, а шаг равен {xj - Xji). Величина pj называется погрешностью метода шаге. Предположим, что при всех j, соответствующих рассматриваемому отрезку интегрирования xq < Xj xq + X, вьшолняется неравенство \pj\ Ciixj - Xj ir+\ (7) Пусть Загрубляя (7), имеем L = sup \fy\ < оо Н = max (з;, - ж,-]). \pj\ C\H4xj-Xj-i). (8) При X(i Xj Хп Хо + X справедливы неравенства ехр У fy{x, yj{x)) dx exp{L(:r; - Xj)} ехр [LX]. Воспользовавшись этими неравенствами для оценки правой части (6), получим я кехрхх} + . Применим теперь к предыдущему неравенству оценку (8), получим \Rn\ ехр {LX} YiCHixj - ж, 1) + \6j\) + \Ro\ \.7-1 / ехр{ХХ}(6\Я*(.г- - хо) + пё + Ло) ехр{Х(С1ХЯ* +N6 + Ло); здесь (5 = тахй.,. Из этого соотношения следует, что шах >0 при я -> о, если одновременно 0. \В.о\ -> 0. Таким образом, при достаточно мелком шаге интегрирования и малой вычислительной погрешности приближенное решение, получаемое при употреблении метода Рунге-Кутта, близко к точному решению. Часто решение дифференциального уравнения отыскивается на большом промежутке. Тогда в полученные оценки погрешности входит как множитель очень большое число exp{LX}. При LX большом может оказаться, что достижение нужной точности требует столь мелких шагов и столь малой величины вычислительной погрешности на шаге, что использование рассматриваемого метода будет нецелесообразно. Поэтому характеристика методов по признаку - сходится ли приближенное решение к точному при измельчении шага и при достаточно быстром уменьшении вычислительной погрешности или не сходится - является еще недостаточной. Если fy{x, у) -b < О, то в оценке (9) можно избавиться от множителя, резко растущего с увеличением X. Рассмотрим случай постоянного шага Xj - Xj-i = h. Тогда ехр IJ fy{x, у{х)) dx ехр{-Ь(ж - Xj)} ехр {-biji - j)h}. \Яг\ YlCih-+ + 6) ехр {-Ь{п - j)h} + \Ro\ехр {bnh}. (10) Имеем J2 ехр {-b{n - j)h} E = j Таким образом, получаем окончательную оценку погрешности Поскольку I - ехр {-Wi} ~ то верна более простая по виду опенка \Rn\ C-iOf + S/h) + \Ro\ехр {-Imh}. (12) Формально эта оценка не зависит от длины промежутка интегрирования X, однако длина п1)Омежутка интегрирования может неявно влиять на значение коэффициента 62 через оценки производных. Наличие оценки (11), не ухудшающейся с увеличением промежутка интегрирования, позволяет использовать такие методы для отыскания, например, устойчивых решений диффе1)енциальных уравнений путем установления. Начинаем численное интегрирование с произвольных начальных данных и с течением времени выходим на устойчивое реше-1ше. Этот прием часто употребляется при отыскахши устойчивых предельных циклов систем обыкновенных лифферен1щальиых уравнений. В связи с полученной оценкой (12) и возможностью получения аналогичной оценки для случая численного решения задачи Коши для систем дифференциальных уравнений с быстро сближающиьшся решениями одношаговые методы находят широкое применение в вычислительной практике. В то же время методы, для которых в подобной ситуации погрешность растет пеограничепио, практически исюзли из употребления. Заметим, что в случае fyb>0 в соответствии с утверждением леммы решения расходятся с экспоненциальной скоростью, и поэтому погреш-ьюсть любого метода должна пеограничепио расти nj:>n .т -> оо. Другим достоинством одношаговых методов является удобство изменения шага интегрирования и однотипность вычислений во всех расчетных точках (у конкурируюгцих с ними методов Адамса изменение шага интегрирования и начало вычислений производятся с помощью некоторых специальных формул, которые мы не рассматриваем из-за их громоздкости). Пусть \iL)j\ Cih + 6. Оценивая правую часть (6), получаем 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 [123] 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |