Слаботочка Книги

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 [124] 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208

Здесь

Уп = Pn{Уn), ¥>п{Уп) = Лп -Ь h-f{xn, Уп)-

к к \

г=\ i=l J

не зависит от Будем решать это уравнение методом простой итерации:

уп=<Рп{У).

Поскольку ipniy) = h-fy[xn, у), то при достаточно малых h вьшолнено ао

условие сжимаемости отображения ipn{y) и поэтому итерационный процесс сходится. Начальное приближение определяется из какой-либо явной формулы

Y -гУп-г ~hJ2 blif{Xn-U Уп-г) =0, oj 0.

§ 5. Конечно-разностные методы

Среди fc-шаговых методов наиболее употребительны методы интегрирования на сетке с постоянным шагом Xj - Xji = h = const при помоц];и соотношений вида

Ya-iVn-i Fiih, Xn-i, Уп-i) = о, (1)

где т - постоянные, Fi - некоторые функции, определяемые функцией /(ж, у). В свою очередь, среди таких методов традиционно наиболее употребительны методы

Y а-гУп-г -fY b-fi{Xn~h Уп-г) = О, (2)

1=0 1=0

которые принято называть конечно-разностными методами или конечно-разностными схемами.

В вычислительной практике применяются формулы (1), (2) со значениями ао 7 О, Ьо = О - явные, или экстраполяционные, и формулы с ао О, bo Ф О - неявные, или интерполяционные.

Формулы (1), (2) при Оо ~ о, bo ф О, называемые формулами с забеганием вперед, рассматриваться не будут, поскольку они не нашли распространения в вычислительной практике из-за сложности использования. Тем не менее их следует принимать во внимание при проведении теоретических рассмотрений, так как они расширяют класс используемых конечно-разностных схем. В дальнейшем предполагаегся, что ао ф 0. При 0 7 О уравнение (2) можно записать в виде

)j 5 Конечно-разностные методы 377

Число итераций на шаге определяется из разумного соотношения ме-зкду трудоемкостью итераций и точностью получаемых в процессе итераций приближений так же, как в случае формулы (2.4), являющейся частным случаем формулы (2).

Простейшие методы типа (2) получаются на основе квадратурных формул. Всякая квадратурная формула

/о 1

f{x) dx = hJ2 b-if{-ih) + г, rn О, (3)

Р г=0

где г - остаточный член, порождает соответствующую формулу численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Действительно, подставляя в (3) соотношение /(.х) = у{хп + х), имеем

/о тг

f{x) dx = у{Хп) - у{Хп-р) = 51 -iyin-i) + Г.

Заменяя у{х) на /(ж, у{х)) и отбрасывая г, получим

У{Хп) - У(Хп-р) ~ 51 (хп-г, yiXn-ii) (4)

Соответствующая конечно-разностная схема запишется следуюпщм образом:

Уп - Уп-р - hb-ifiXn-i, уп-г) = 0.

Например, формуле трапеций

/о ,

Jix)dx(fiO) + f{-h))

соответствует интерполяционная формула

Уп - Уп-1 = (/н + fn-l), (5)

формуле Симпсона

У °/(ж) dx (/(0) + 4fi-h) + f{-2h))

-интерноляционная формула Уп-Уп-2 = (/n+4/ -i-b/ 2); здесь = f{xm, Ут)- Квадратурной формуле прямоугольников, записанной в виде

о

f{x)dxa2hf(x).

Задача 1. Показать, что

const const

при г -> оо.

соответствует экстраполяционная формула

Уп - Уп~2 = 2hfn-i. (6)

Если остаточный член квадратуры (3) оценивается через D(9) max /()(ж)М+, то погрешность равенства (4) будет оцениваться

через D{q)max\y+x)\h+.

В настояш;ее время из конечно-разностных методов, как правило, употребляются на практике только методы, соответствующие р = 1; их называют методами Адамса.

Другие известные методы вида (2) не выдержали испытания на практике по следующим причинам:

1) отсутствует сходимость при уменьшении шага (в предположении отсутствия вычислительной погрешности) даже для бесконечно дис]зферен-цируемых правых частей /(ж, у);

2) при наличии сходимости происходит экспоненциальный рост (с увеличением X) погрешности в рассмотренном в предыдущем параграфе случае, когда fy ~Ь < 0;

3) для некоторых схем при р > 1 возникают дополнительные (по сравнению со случаем р - 1) неудобства при изменении шага интегрирования.

Явные формулы Адамса обычно записываются в виде

in

Уп - Уп-1 = hYlifn-l,

а неявные - в виде

Уп~-Уп~\ = /X-TiVVn;

здесь, как и в § 2.10,

Коэффипценты 7, вычисляются по формулам

Си и

Ъ = Ъ - 7г-1 = - / ~ П т) р* > Jo

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 [124] 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208