|
| |
|
Слаботочка Книги § 6. Метод неопределенных коэффициентов Для построения формул численного интегрирования можно также использовать метод неопределенных коэффициентов. Заменим производную /{хп) и значение /(а; , у(хп)) некоторыми выражениями к , . У (хп) 2 --f-(1) f(xn, У{хп)) b-ifiXn-i, y{xn-i)) (2) (предполагается, что а ,; и не зависят от h). Отсюда получаем приближенное равенство Е Е -/{-п-и ?У(хп-.)). (3) Ему соответствует конечно-разностная схема 1=0 г=0 Величина о ;?/(x ) = Е - Е-/( - г=0 г=0 называется погрешностью аппроксимации исходного дифференциального уравнения схемой (4). Определение. Разностная схема аппроксимирует дифференциальную на отрезке [хо, xq + X], если \\г\\ = max г -> О при h -> 0. Вспоминая, что f (хп~г, y{Xni) = у{Хп-г) И Хп-г = Хп - ih, ПОЛуЧИМ Е* а-гу{хп - ih) , -7- - > Ь-г?/(2: - ih). г=0 i=0 Обычно методы Адамса используются по следующей схеме. Сначала вычисляется нулевое приближение но явной формуле Адамса. и затем производятся 1-2 итерации на основе неявной формулы (с тем же значением т). г=0 к г=0 i=0 к к i=0 г=0 Имеем где Ы 4 DgM.h-, к . к ii JL ,-9-1 г=0 г=0 Как правило, производя более аккуратную оценку, можно уменьшить значение Dg в оценке е . Если Eq = = Em = О, то е = 0{h) и говорят, что схема (4) имеет т-й порядок аппроксимации. Всякая схема т-го порядка аппроксимации является схемой д-го порядка аппроксимации при q < т. Если Eq - = Em = О, а Ет+\ ф О, то говорят, что порядок аппроксимации строго равен т. Предположим, что все производные решения до порядка q ограничены: \у\х)\ 4, Мр < оо при жожжо+Х, р = 0, Представим все величины у(ж - ih) и ?/(ж - ih) с помощью формулы Тейлора следующим образом: у{хп - ih) = + pl р=0 yixn - гh) = pyip)(a: )iI + где согласно оценке остаточного члена ряда Тейлора имеем \l3i\ 4 M,{ihflqU 4 M,{ihfl{q - 1)!. Подставим выражения ?/(ж - ih) и у{хп - ih) в правую часть представления Гп и соберем коэффигщенты при уР\хп)- Получим Тп = Eoh~yixn) + ЕуЧхп) + + Е,-ф-у--\хп) + вп, (5) здесь ,. а-гу{х - ih) , h-лО YimYlb-if{x - ih, у{х - ih)) = f{x, у{х)). Лемма. Соотношения (7) выполнены тогда и только тогда, когда Eo = EiO, bo + --- + = 1. (8) Доказательство. Согласно формуле Тейлора имеем у(х - ih) = у{х) - ihy{x) + 0{h), fix- ih, y{x - ih)) = f{x, y{x)) + 0{h). Подставляя эти соотношения для левых частей в (7), получим / {jyy()) + Т.-г{-г)у{х) + 0{h) = y{x), J2b..i fix, у(х)) + 0{h) = fix, у(х)). Для справедливости этих соотношений необходимо и достаточно выполнения условий к к к г=0 г=0 г=0 Левая часть первого из этих равенств равна Eq, разность левых частей второго и третьего равна Ei. Отсюда следует справедливость утверждения леммы. Уравнения Eq = = Е = О образуют однородную систему линейных алгебраических уравнений относительно 2А; -Ь 2 неизвестных. Если число неизвестных больше числа уравнений, т. е. 2к + 2 > т + 1 (или, что то же самое, 2к т.), то эта система имеет ненулевое решение. Можно показать, что при 2к = m эта система имеет однопараметрическое семейство ненулевых решений a i = са° j, b-i = cbi, причем ш = E-j 7 - Выбирая с = u)~, получим разностную схему =0 2к-1ю порядка аппроксимации. Иногда возникает необходимость построить явную схему {bo - 0). Решая систему уравнений bo = О, Ео - = Согласно (1), (2) для любой гладкой у(х) имеем соотношения 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 [125] 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |