|
| |
|
Слаботочка Книги - (Ifn-i + lfn-2) = 0. (9) Отметим следу10ш,ее обстоятельство. Если равенства f{xn, У{хп)) 6 i/(a; i, y{xa-i)) (11) выполняются с точностью до членов порядка 0(/i ), то величина г , равная разности погрешностей этих соотношений, имеет порядок О (/г ) и, следовательно, согласно (3) Ео = = Ет = 0. Однако для выполнения условия г = 0{h) не обязательно требовать, чтобы погрешности приближенных соотношений (10), (11) имели порядок 0{¥). Например, для последней схемы г = 0{h), в то время как погрешности соотношений (10) порядка 0(h). Кроме построенных выше методов типа Рунге-Кутта и копечно-раиостных методов следует отметить группу методов, где при нахождении каждого нового значения / используется несколько предшествующих значений у n-i, как в конечно-разностных методах, но в то же время на каждом шаге производится несколько вычислений правой части, как в методах Рунге-Кутта. Пример метода этой группы: Уп~1/2 = Уп-2 + (9/ -1 + 3/ 2), yi = (282/ -1 - 23уп-2) + (32/ 1/2 - 60/ i - 26/ 2), Уп = (322/ 1 - Уп-2) + (64/ 1/2 + 15/ + 12/ 1 - / 2), погрешность на шаге порядка O(h); здесь = f(xm, у). Е2к-\ = О и выбирая решение с j-i = 1, получаем схему {2к - l)-i-o порядка аппроксимации. Примеры. При к = 2 обш,ее решение системы уравнений = - = Е4 - О имеет вид uq - с, й 1 = 0. а 2 = -с, bo = 6 2 = -, b-i = -с. Из условия (8) получаем с = 1/2: расчетная схема имеет вид Уп - Уп-2 г 2 1 \ ~2h---и- + 3-- + бМ-- Заметим, что выше эта схема была получена из формулы Симпсона. Если потребовать выполнения равенств Ьо = Eq ~ Ei = Е2 = е: = О, то получим схему Уп + 4?/7i-l - 5уп-2 § 7. Исследование свойств конечно-разностных методов на модельных задачах После конструирования нового метода региения задачи, нанример метода решения дифференциальных уравнений, целесообразно, прежде чем писать программу, посмотреть, как будет работать этот метод на простейших модельных задачах, где точное и приближенное решения вычисляются в явном виде. Если для такой задачи метод дает неудовлетворительный результат, то от применения этого метода, скорее всего, стоит отказаться. Часто первоначально конструируется не один метод, а некоторое семейство методов, зависящих от одного пли нескольких параметров. Изучение модельного примера может позволить сравнить эти методы и выбрать оптимальные значения параметров. На примере решаемой в явном виде задачи можно понять реальную ситуацию, возникающую при реализации метода. Такой подход часто более предпочтителен, чем подробное теоретическое исследование, поскольку дает большой выигрыш по времени. Из формулы (6.4) можно находить значение Ут если известны значения Уп-ki тУп-!, поэтому, чтобы начать вычисления, нужно знать yj в к начальных точках Уо,У1, , Ук-i- Они могут быть найдены каким-либо образом заранее, например с помощью формулы Тейлора или методом Рунге-Кутта. Рассмотрим вопрос о том, насколько влияют погрешности в начальных данных разностной задачи уо,У1, , Ук-1 на ее решение. Пусть у* (s = 1, 2)-решения разностной задачи к к Е a~iyv-i - /1Е ~г1(хп-{, yn~i) = о (1) i=0 i=0 при начальных данных Уо---У-1 соответственно. На основании формулы Лагранжа имеем здесь 1т = fyixm, Уш): Ут лежит между у, и у, £: = у - у,. Вычтем из соотношения (1) при s = 2 то же соотношение при .s = 1. Получим уравнение относительно разности Yia-i - hb-iln-i)£n-i = 0. (2) Оказывается, что довольно существенную информацию о поведении погрешности можно получить, рассматривая простейшее диффереициаль- иое уравнение у - 0. В этом случае (2) превращается в уравнение с постоянными коэффициентами Ya-ien-i = 0. (3) Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид оЫ = 5а-г/- = 0. (4) Пусть /11 - максимальный по модулю из корней этого уравнения. Поскольку Eq = io(l), то условие £0 = 0 равносильно тому, что /i = 1 является корнем (4). Поэтому 1. Сеточная функция е = const /г является решением уравнения (4). Пусть /21 вещественно. Рассмотрим ситуацию, когда е = у - у = 6fi ~~, > 1. Разность между значениями решений и в начальных точках не превосходит 6, в то время как maxKl = %ilV№i экспоненциально растет с ростом числа шагов N = X/h. Таким образом, в случае щ = шах > 1 малые возмущения начальных данных могут приводить к катастрофическому возмущению решения уже при не очень большом числе шагов. Пусть т невещественно; сеточные функции £: д = Re ((/i ) и £п,2 = 1ш (й/х ) будут решениями уравнения (3). Поскольку шах{ж, \у\} [ж Ч- it V, то шах j шах е д, шах \еп,2\ \ Al Таким образом, и в случае /ii невещественного, > 1, решение уравнения (1) может сильно исказиться при малом возмущении начальных данных. Рассмотрим случай, когда все корни уравнения (4) не превосходят по модулю 1, но среди корней, по модулю равных 1, есть р-кратиый корень Al, IaiI = 1, Р > 1- Для простоты проведем построения для случая ц\ (\ р-1 -- соответству-к - \) ет возмущению начальных данных уо,---,Ук-1 не более чем на 6, в то время как в конце отрезка возмущение имеет порядок eiX/hY . Такой степенной (по отношению к числу узлов) рост влияния возмущения начальных данных иногда является допустимым. Однако на примере модельного уравнения у - My можно показать, что в случае р-кратиого корня на границе единичного круга возмущение исходных данных сказывается более существенным образом. При /(ж, у) = My все 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 [126] 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |