|
| |
|
Слаботочка Книги Наложим ограничение В противном случае разностное уравнение (1) записывается в виде k-l \ ) -/ /к-1 к-1 - Ml - hYd-if{Xn-i-l, Уп-i-l) \г=:0 i=0 (к-1 к-1 J2c-iyn-i - hYd-if{xn-u Уп-i) i=0 i=0 = 0. Рассмотрение таких уравнений не представляет интереса, поскольку решение более простого уравнения к-1 к-1 E-2>-i - hY-iiin-i, Уп-i) = О j=0 i=0 также оказывается решением уравнения (5). Предположим также, что ао Ф 0. Справедлива Теорема (без доказательства). 1. Если р > 2, то среди корней уравнения (5) есть корень, удовлетворяющий неравенству /ii(M) ехрсМ/г1/р, с > 0. 2. Если р = 2, то или при М > О, или при М < О среди корней уравнения (5) есть корень, удовлетворяющий неравенству \ni{Mh)\ expcMtp/p. Таким образом, при р2 или уравнению у = -f-M7/, или уравнению у = -\М\у соответствует рост возмущения решения в ехр{сМЛ1/р exp{cMi/X/ii/P-i} раз. 1 - М к уравнение (3) относительно £: является линейным разностным уравнением Е(о-г ~ Mhb-j)£n-i = О. г =0 Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид к Е(о-г- - Mhbi)ii~ = 0. (5) Уп - Уп-2 = f{xn-i, y,i-i) (7) на примере модельного уравнения у = My, М = const. Разностные схемы (6), (7) порождают конечно-разностные уравнения Уп{1 - Mh/2) - 7/ i(l -f Mh/2) = О, Уп - 2Mhyn-i - Уп-2 = 0. Возмущение решения растет быстрее любой степени числа шагов; такой рост возмущения уже при небольшом числе шагов также является недопустимым. В связи со сказанным практически пригодными могут оказываться лишь схемы, удовлетворяющие следующему условию а: все корни характеристического уравнения (4) лежат в единичном круге и на границе единичного круга нет кратных корней. Можно было бы подумать, что все дело только в округлениях и погрешностях исходных данных: если бы их не было, то, может быть, решение конечно-разностной задачи сходилось бы к решению дифференциальной? На самом деле для любой разностной схемы, не удовлетворяющей условию а, можно построить пример дифференциального уравнения с бесконечно дифференцируемой правой частью, для которого и при отсутствии округлений и погрешностей в исходных данных решение конечно-разностной задачи не стремится к решению дифференциальной при измельчении шага. На первый взгляд может показаться целесообразным строить схемы с возможно большим порядком аппроксимации т (Eq = = Ет, - 0). Однако оказывается, что все схемы с большим т не удовлетворяют условию а. Теорема (без доказательства). В случаях: а) схема (6.4) явная, т> к; б) схема (6.4) неявная, к нечетно, т > к + 1; в) схема (6.4) неявная, к четно, гп > к+2, среди корней характеристического уравнения (4) имеется корень, по модулю больший 1. Далее будет показано, что при некоторых дополнительных условиях на погрешности начальных данных разностной задачи и вычислительную погрешность при выполнении условия а решение разностной задачи (1) сходится к решению дифференциальной задачи. Будет приведено выражение главного члена погрешности, из которого видно, что главный член ведет себя примерно одинаково для всех разностных схем одного и того же порядка точности, удовлетворяющих условию а. Однако это не означает, что на практике они являются примерно эквивалентными. Рассмотрим поведение решений двух разностных схем второго порядка аппроксимации: Уп - Уп-1 f{Xn, Уп) + f{Xn~l, Уп-l) Mh ± д/1 + (M/i)2. Имеем щ = Mh+ y/l + (Mh) = I + Mh + + 0{{Mh)) = exp {M/t(l -t-0(Mh))}. Здесь и далее мы пользуемся формулой Тейлора у/1 + е - 1 + - + 0{e). Отсюда следует равенство /г = exp{Mnh{l + 0{Mh?)}. Таким образом, слагаемое ci/i соответствует решению разностного уравнения, ведущему себя качественно так же, как решение дифференциального уравнения. Аналогичным образом получаем /i2 = Mh - /TTмЧ? = -l + Mh- + 0{{Mhf) = = -ехр{-М/г(1 -Ь 0(М/г))}. Имеем = (-1) ехр{-Mn/t(l-f 0(М/г))}; слагаемое /2 ведет себя качественно иначе, чем решение дифферещиальиого уравнения, и, что осо-бешю существенно, оно возрастает по модулю при М < О, в то время как точное решение убывает. Рассуждая так же, как выше, заключаем, что вычислительная погрешность может исказить решение на величину порядка 6exp{-Mnh{l + 0{Mh))}. При М<0 и большом значении \Mnh\ эта величина может оказаться недопустимо большой, особенно на фоне убывающего решения е~°\ Поскольку расматриваемый метод дает неудовлетворительный результат для такой простейшей модельной задачи, его вряд ли можно рекомендовать для широкого употребления, тем более в стандартных программах численного интегрирования дифференциальных уравнений. Мы отбраковали второй метод на примере задачи, где М < О и величина 6е недопустимо большая. В последние сорок лет в приложениях часто стали встречаться задачи с резкими переходными процессами, где решение существенно меняется на малом промежутке времени. Типичной модельной задачей является задача Коши для уравнения у = My, М < О, где величина \М\Х настолько велика, что число шагов порядка МХ является недопустимым. Если при разумном числе Шагов по времени \M\h 1, то использование первой из рассматрива- В первом случае репгеиие уравнения для погрешности имеет вид Это решение растет при М > 0. Это естественно, поскольку для дифференциальной задачи разность двух решений е{х) с различными начальными условиями записывается в виде е{хп) = ехр {М{хп - хо)}фо) и ткже растет при М > 0. При М < О как £: , так и £:(ж ) убывают. Решение второго уравнения имеет вид ci/i + 02/2, где и /22 - корни характеристического уравнения fi2 - 2Mhfi - 1 = 0, т.е. fii2 = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 [127] 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |