|
| |
|
Слаботочка Книги § 8. Оценка погрешности конечно-разностных методов Произведем оценку погрешности приближенных решений, которые получаются при использовании конечно-разностных методов вида (5.2), удовлетворяющих условию а. Получаемые в процессе реальных вычислений величины Уп, являющиеся приближениями к значениям у{хп), связаны на самом деле не соотношением (5.2), а соотношением г=0 i=0 где 5п может быть отлична от нуля (причины появления 5 уже были указаны в § 4). С другой стороны, в § 5, 6 установлено, что значения у{хп) точного решения дифференциальной задачи удовлетворяют соотношению Yo-iy{Xn-i) - /tb i/(a; i, у{хп-г) = hrn, (2) =0 г=0 емых разностных схем также может привести к неудовлетворительным результатам. Для этой схемы имеем 1 + Mh/2 1 + 2/{Mh) (J / 1 \) ~ 1 - Mh/2 ~ -1 + 2/{Mh) Р 1 М/г V (Mh) ) I Таким образом, решение разностного уравнения имеет вид = (-1) р { (j4 + о ((Лй?) ) } * = = < { (Дй? + о ((М5))) - - )} И суш,ествеиио отличается от точного решения дифференциальной задачи у{хп) = yQe~~°\ например, при М/г 1 (решение разностного уравнения по модулю близко к 1, а решение дифференциального уравнения мало). В качестве итога проводиюго выше анализа свойств первого метода можно заключить, что этот метод применим для решения довольно широкого круга задач. В то же время существуют определенные типы задач, называемые жесткими (моделируемые случаем М < О, \М\Х очень велико), в которых к применению этого метода нужно отнестись с определенной осторожностью. Для решения таких задач разработаны специальные методы (см. § 9). § 8. Оценка погрешности конечно-разностных методов 389 при соответствующем подборе коэффициентов a j и Ь г оказывалось, что f. z= 0{И}, где тп > 0. Вычитая (2) из (1), получим уравнения для погрешности /? = уп - у{Хп)- На основании формулы Лагранжа имеем равенство f{Xn-i, y-n-i) - f(xn-i, y{Xn~ifj = In-iRn-U (3) где In-i = fy{xn-i, Уп-i) и Уп-i лежит между Уп-i и y{xn-i). С учетом (3) разность соотношений (1) и (2) запишется в виде Е a-iRn-i - Е b-iln-iRn-i = Уп, (4) i=0 г=0 где Уп = Sn - hr. Теорема (об оценке погрешности). Пусть разностная схема удовлетворяет условию а и \ fy \ L при xq х жо + X. Тогда при .то Хп .tq -Ь X выполняется неравенство ( \ \Rn\ c{L, Х) шах \Ri\ + \д\ , (5) \ 3=к J где c{L, X) < оо - некоторая постоянная, зависящая от коэффициентов a-i, bi и от L и X. Доказательство. Для доказательства нам понадобится частный стучай лемПз! из § 3 гл. 6: пусть все собственные значения матрицы А лежат в круге Л и па границе круга нет кратных корней; тогда можно указать матрицу С такую, что \\D\\ q, где D = СЛС. Для удобства оценки преобразуем уравнение (4) в одиошаговое векторное уравнение. В дальнейшем для определенности предполагаем h настолько малым, что \НЬоЬ\ ао/2, тогда коэффициент ao-hboln при Л в (4) по модулю не менее 1ао/2- Перенося в (4) все слагаемые, не со-держагцие Rn, в правую часть и деля па коэффициент при Rn, получим равенство f-* Оо - hboln ао - hboln Полю -a-i + hb-iln-i f -~a-i\ ао - hboln \ ао J b-iaoln-\ - a-iboln , , , \Ь-1Ы + \a-ibo\ (oo - hbolnjao (flor Введем в рассмотрение векторы Z = (Rn,..., Rn-k+i}- Соотношение (6) равносильно равенству Z = Z i+W Z i+W ,
Оо - hboln О о о 1 О У Действительно, приравнивая первые компоненты векторов в правой и лепной частях (7), мы получим равенство (6), а приравнивая остальные компоненты, получаем тождества Rn-i = Rn-ii г = 1,..., /с - 1. Вычислим характеристический многочлен матрицы А: Р(Л) = det( - Л) = = det о 1 -Л 1 Ol-fc Оо O-fc Оо -А / Для этого умножим первый столбец иа Л и прибавим ко второму, затем- второй на Л и прибавим к третьему и т. д. В результате получим Р(Л) = det / Pi (А) Р2(А) 1 О V О о Pfc-i(A) Pfc(A) \ 1 О J 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 [128] 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |