|
| |
|
Слаботочка Книги где Pi(a) = - а, Р2(а) = + л (- - а) , ..., pfc(a) = + Л (- + а {- + ---+\ (- - aV ЛУ Раскрывая ао \ ао V ао \ о / определитель по последнему столбцу, имеем Р(а) = {-1)Рк[Х) или, что то же самое, (-1)=р(а) = а= -ь а=-1 -ь - -Ь - = ао ао = - (aoA= + a ]A=-i + -----a fc). Характеристическое уравнение матрицы А оказалось пропорциональным характеристическому уравнению (7.4) разностной схемы. Согласно предположению а все корни характеристического уравнения матрицы А лежат в круге 1 и на границе круга нет кратных. Поэтому но отношению к матрице А условие леммы выполнено со значением q= 1. Следовательно, существует матрица С такая, что С-АС = £) и £)оо 1-Произведем в уравнении (7) замену переменных Z = Cz,i. После умножения слева на оно приведется к виду D = C-AC, Vn = C-VnC, w = C-Wn. В матрице Vn ненулевые элементы находятся только в первой строке; поэтому / к \ г=1 Кгоо < \\Vn\\oo\\C-\U\\Vn \b-iao\ + \a-ibo\ L-=vL vL\\c-U\\c\u. Имee lw ooC-loolWJloo = C-lc Go - hboln 2C-iooH- После оценки норм слагаемых в правой части (8) можно записать неравенство \\с-Ч. /3 = 2 7 = НС-ЧооСоо. Для оценки z oo через z ioo и величины \дп\ поступим следующим образом. Вьшишем неравенства (9) при j = п,..., к. В правой части оценки z oo через z ioo оценим z ioo через z 2oo, затем в правой части получившегося неравенства оценим z 2loo через z 3oo и т. д. В результате получим llzniloo + (1 + lLh)[p\gn,\-Ь (1 + фЬ){д\дп-2\ + -Ь (1 + lLh){e\gk\ + (1+ 7b/i)!zfc-illoo) -.)), или, что то же самое, Ыоо pjii + iLhr-Vjj] + (1 -f 7W--+z,. iU. (10) Упростим эту оценку, одновременно несколько загрубив ее. При xq Xj Хп .То + X имеем (п - j)h X; поэтому (1 + Lh- 4 ехр {Lh{n - j)} 4 ехр {7LX}. Теперь из (10) получаем / п \ z ooexp{7LX} pYVjA + bk-xWoo . (11) V j=k J Справедливы неравенства \Rn\ 4 Z oo C!,ooz oo, llzfc-illoo < llC-illoolZfc ioc = \\C~\U max \B l и поэтому / n \ llClloo exp{7LX} вШ + WCW V j=k ) Далее получаем оценку погрешности \Rn\ 4 ехр {7LX} Ml Y Ы + 2 max \Щ \ jr=k J где Ml =/3Coo, M2 = ЦСЦоо ЦСЦоо и 7 -некоторые постоянные, зависящие только от коэффициентов a j, b-i исходной разностной схемы. В частности. Ml и М2 зависят только от коэффициентов o-j. Утверждение теоремы доказано. Подставляя в (12) значение gj = Sj - hrj, получим искомую оценку погрешности / п \ \Rn\ 4 ехр {jLX} ( Ml V(\6j\ + h\rj\) + M2 max \Щ . (13) (12) (1) = E -i -Y-i{fyiXn-i, У{Хп-г)) -Е,п+1у+Нхп))=о{1). Rn-i Таким образом, сеточная функция г = Rn/h приближенно удовлетворяет сеточному уравнению L{zn) - О, которое получается при аппроксимации уравнения z - {fy{x, y{x))z - £;т+12/(-+1)(ж)) = 0. (14) Из оценки (13) видно, что для сходимости решения разностного уравнения к решению дифференциального достаточно выполнения условий Оценка погрешности (13) во многих случаях является существенно завышенной. Например, для методов Адамса можно получить оценку погрешности, остающуюся ограниченной в случае fy -< О при сколь угодно большой длине промежутка интегрирования в предположении, что погрешности округления Sj и погрешности аппроксимации Vj равномерно ограничены: \Sj\ S, \rj\ г. Заметим, что из оценки погрешности для одношаговых методов (§ 4) следует оценка погрешности метода Эйлера, являющегося частным случаем методов Адамса. В то же время из (13) при таких предположениях нельзя получить равномерной ограниченности погрешности интегрирования. Для получения более реального представления о величине погрешности полезно располагать выражением для главного члена погрешности. Наметим путь получения этого выражения. При достаточно гладкой функции /(ж, у) согласно (6.5) справедливо равенство Гп = £; ,+1Л у( +1)(ж ) + o{h ). Поскольку Ь-г = 1, то это выражоние можно переписать в более удоб- ном для нас виде Гп -hY. b-iEm+iy +Hxn) + о(/г-). Предположим, что вычислительная погрешность мала по сравнению с Погрешностью аппроксимации, точнее, шах = 5 = о(/г ). При выполнении условий теоремы об оценке погрешности решение разностной задачи сходится к решению дифференциальной, поэтому справедливо равенство In = fyixn, Уп) = / /(ж , у(ж )) + о(1). С учетом выписанных выше соотношений равенство (4) можно переписать в виде 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 [129] 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |