|
| |
|
Слаботочка Книги Ып{х) При таком выборе К функция ip{t) обраш,ается в нуль в (п + 1)-й точке ж , X. На основании теоремы Ролля ее производная p{t) обрагца-ется в нуль по крайней мере в п точках. Применяя теорему Ролля к (/?(<), получаем, что ее производная обрагцается в нуль но крайней мере в (п - 1)-й точке. Продолжая эти рассуждения дальше, получаем, что обрапдается в нуль но крайней мере в одной точке нри- надлежаш,ей отрезку [у\, уг], где у\ = min {xi,..., Хп, х}, у2 = шах ..., ж , х). Поскольку (*) = /( )(<)-Кп!, из условия </? )(С) = о будем иметь Следовательно, соотношение ip{x) = О можно переписать в виде /М- (X) =f < (1) даюш,ем представление остаточного члена. § 4. Разделенные разности и их свойства Как будет видно далее, интерполяционный многочлен можно рассматривать как обобш,ение отрезка ряда Тейлора. Обобш,ением понятия производной является понятие разделенной разности. Разделенные разности нулевого порадка f{xi) совпадают со значениями функции f(xi)\ разности первого порядка определяются равенством § 3. Оценка остаточного члена интерполяционного многочлена Лагранжа В предположении непрерывности / (ж) оценим разность между f{x) и построенным интерполяционным многочленом дп{х)- Положим ) = f{i)-gn{i)-KLOn{t), где uJn{t) = {t - х\) [t - Хп), а К выберем из условия ip{x) = О, где ж -точка, в которой оценивается погрешность. Из уравнения ip{x) = О получаем /(ж) -дп{х) разности второго порядка - равенством Xk - Xi и, вообще, разности fe-ro порядка f{x\\...; Xk+\) определяются через разности {к - 1)-го порядка по формуле /(ж2; ; Xk+\) - /(жх; ...\Xk) Xk+l - Жх Иногда вместо /(ж1;...;ж) используют обозначения (/)(ж1;...; a;j.) или [хи...; Хк]. Лемма. Справедливо равенство 7=1 llv-J Хг) Доказательство будем проводить по индукции. При А; = 1 это равенство превращается в равенство f{x\) = /(жх), при к = 2 совпадает с (1). Пусть (3) доказано при к < I. Тогда /(жх;...; xi+i) = /(ж2;...; ж/+х) - !{хх\...\ xi)) жг+х - XX Х1+г - Жх / П iJ-i) 3=1 П ~ Если j ф\, то коэффициент при /(ж) в правой части есть ai+i - Жх - Жх) - (жд - ж+l) ---s-- = (жг+х - Xx) Jl (Жд - Xi) (Жд - Жг) § 5. Интерполяционная формула Ньютона с разделенными разностями При помощи разделенных разностей можно получить другую форму записи интерполяционного многочлена (2.4). Справедливо равенство Пх)-Ьп{х)= fix) - Е/)П-3 = + Е- f[ix - Xi) =1 ii - )П( ~ Сравнивая с (4.3), убеждаемся, что выражение в скобках есть f(x; Xi;...; Хп). Таким образом, fix) - Lnix) = fix; xi;...;xn) ШпН, (1) где многочлен ш (а;) определен в § 3. т.е. имеет требуемый вид; для j = 1 или j =1 + 1 значение f{xj) входит только в одно слагаемое в правой части, и коэффициент при нем также имеет требуемый вид. Доказательство закончено. Непосредственно из (3) вытекает ряд следствий. 1. Нри фиксированных xi,..., х разделенная разность является линейным функционалом от функции /: (ai/i + 2/2)(жг;Хк) = Ofifi{xi\...; Xk) + 0:2/2(1; . ; xt)- 2. Разделенная разность есть симметрическая функция своих аргументов Ж!,..., Xfc (т.е. не меняется нри любой их перестановке). Если функция задана в точках х\,..., ж , то таблицу /(2;2:.з) ; : f{xi;...;xn) (4) ./(ж.з) ; . . ; f {xn-ii Xji) f{Xn) называют таблицей разделенных разностей. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [13] 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |