|
| |
|
Слаботочка Книги Уп -у(ж ) ~ /i z(x ), tn) = Г W{x, Хп)у +Цх) dx. Здесь матрица W{a, Ъ) является решением матричного дис1)ференциального уравнения W(a, Ь) = fy{b, y{b))W{a, b) при начальном условии W{a, а) - Е, где Е -единичная матрица, fy{x, и) - матрица с элементами dfi/dyj г, j = 1,..., /. Проведенные выше рассуждения, каждый этап которых может быть строго обоснован, иногда облекают в более грубую форму. Точное решение дифференциальной задачи удов.петворяет соотношению Ыу{п}1)) E ,+ih 4/ +Hx), к к LhZn = jYn-iZn-i - b J(.C i, Zn-i), i:=o i=o a приближенное решение - соотношению Ыуп) = о, поэтому их разность удовлетворяет равенству ЫУп) - Ln[y[nh)) -E ,+ihy+H)- Поскольку Уп и y{nh) близки, это соотношение можно записать в виде L{y{nh)){yn - y{nh)) -Em+ihy\x); здесь LJj - производная оператора Ьн- Поскольку операторы L и i/, в определенном смысле близки, то можно написать L\y{nh))(yn - yinh)) -E +i7i ?/( +i)(a:). В предположении, что Zq,..., Zk-i = о(1), рассуждая так же, как при доказательстве теоремы об оценке погрешности, получаем, что Zn близко к решению уравнения (14) при начальном условии z{;xq) - 0. Это решение можно выписать в явном виде: Zn z{Xn) = -rn+ij ехр 1 fy{t, 4j{t)) dt г/+\x) dx. (15) Таким образом, Rn h z{Xn). Сформулируем аналогичный результат, относящийся к случаю интегрирования системы уравнений. Для системы уравнений у = f{x, у), когда у и f- векторы: у - (yi,..., уг), f = (/],..., ), выражение главного члена погрешности (15) имеет вид § 8. Оценка погрешности конечно-разностньвс методов 395 Напомним, что производная оператора L определяется равенством Отсюда получаем приближенное равенство 6 - fyix, yix})6 -£: +хЛ у( +1(а;), где 6 = Уп - у{хп), и затем -(15). Второй путь вывода выралжния для главного члена погрешности уже не поддается непосредственному обоснованию и в принципе может привести к неверным заключениям. Это видно хотя бы из того, что нигде не проявилось условие Q, без которого не имеет места сам факт малости величины y,i - (/(а; ). Справедливость получаемых на таком пути результатов требует специального обоснования. В то же время его следует признать крайне полезным, поскольку не известно ни одного нротиворечаш,его примера, когда бы его применение приводило к неправильному выражению для главного ч.лена погрешности е случае, если решение разностной задачи сходится к решению дифференциальной. Для некоторых методов, например Адамса и Рунге-Кутта, выражение главного члена погрешности, как правило, дает реальное представление о величине погрешности. В других случаях, например для метода (7.6), являющегося простейшим случаем так называемого метода Милна, это выражение следует рассматривать как некоторую оценку снизу для реальной величины погрешности. Рассмотрим случай метода (7.6) и уравнения у = My. Точное решение имеет вид У{х) = уое-- °\ а = 1/6. Согласно (15) имеем z{xn) = -I Ге(-о)м%оеП--о) 1мЗуое( - На;п - о). (16) Оценим г)е в области г; > 0. Поскольку эта функция стремится к нулю при г; О и при v оо, то ее наибольшее значение принимается в точке, где ее производная равна нулю, т. е. при v = 1. Отсюда следует, что [ге ] е при v > 0. Рассмотрим случай М < 0. Подставляя v = -М(ж,1 - Жо), получим \Ме~\хп -xq)\ е . Отсюда и из (16) следует г(ж ) < М?/о/(6е), и, таким образом, главный член погрешности равномерно ограничен при жо < ж < оо. В то же время из рассмотрения этого модельного примера, проведенного в § 7, вытекает, что реальная величина погрешности довольно сильно растет вследствие большого влияния погрешности начальных значений уо, yi. § 9. Особенности интегрирования систем уравнений Проводившиеся выше построения, в частности расчетные формулы, применимы без всяких изменений в случае систем уравнений У=Ф,У). (1) Формальное отличие состоит в том, что в соответствующих соотношениях вместо скалярных величин участвуют некоторые матрицы или тензоры. Для выявления особенностей, которые могут возникнуть при численном интегрировании систем обыкновенных дифференциальных уравнений, рассмотрим модельный пример линейной системы с постоянными коэффициентами у = Ау. (2) В случае использования конечно-разностной аппроксимации (5.2) соответствующая система конечно-разностных уравнений имеет вид i=0 г=0 Для простоты предположим, что жорданова форма матрицы простая: С~АС = Л, Л - диагональная матрица с диагональными элементами Ai,..., А/. Положим С~Уп = Ъп и умножим систему (3) слева на С . Получим Л / .c-iACn-i = О i=0 г=0 Казалось бы, в обрисованной выпю ситуации есть какое-то противоречие. Говорится о главном члене погрешности, но в то же время утверждается, что он не является определяюЕцим в реальной величине погрешности. Дело заключается в следующем. При получении главного члена погрешности имелось в виду, что длина промежутка интегрирования фиксирована, а 6/h п h стремятся к нулю. При рассмотрении модельного примера в § 7 речь шла о поведении погрешности при h фиксированном, а;. - жо 0. Как показало рассмотрение этого модельного примера, влияние погрешности исходных данных существенно уже при не очень больших значениях \М\{хп - Xq), поэтому широкос Применение метода (7.6) в реальной практике является нецелесообразным, несмотря на малое значение главного члена погрешности при 6/h, /iО и х - Xq фиксированном. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 [130] 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |