|
| |
|
Слаботочка Книги Соотношение (4) совпадает с конечно-разностной аппроксимацией для уравнения 4 = XpZp. (5) Если в (2) перейти к новой неизвестной вектор-функции z = С~у и умножить (2) слева на матрицу С~, то получится система скалярных уравнений (5), р = 1,... ,1. В соответствии с определением вектор-функций 2,[х) и z имеем равенство Следовательно, для получения решения у(.г) с малой погрешностью необходимо и достаточно, чтобы решения 2р(ж) уравнения (5) получались с малой погрешностью в случае интегрирования с помош,ью аппроксимации (4). При этом имеется в виду, что есть соответствие между аппроксимациями начальных условий yyCzj, j = к-1. Проводя аналогичные построения, можно получить тот же вывод и по отношению к методам Рунге-Кутта. Решение уравнения (5) имеет вид Zp - 2: ехр {Лр(ж-жо)} и суш,ественно изменяется при изменении ж на расстояние Аж = 1/Лр, т.е. характерный размер изменения решения порядка 1/Лр. Если говорить о векторе z(ж) как о едином целом, то характерный размер его изменения - величина порядка 1/тах Лр1; точно такой же порядок характерного изменения будет и у вектора у(ж). Шаг интегрирования должен быть существенно меньше характерного размера изменения решения, т.е. h < ---. Отсюда следует оценка max Лр снизу для числа шагов интегрирования N = - :§> тахЛр X. п Р г=0 i=0 Эта система распадается на систему скалярных конечно-разностных уравнений относительно компонент Zpn векторов Zn = {zin, , Zin? : к к -Y-ipn-i-b-iXpZpn-i = О, р=1,...Л. (4) Если число шагов, много большее величины шахЛр-Х, неприемлемо по затратам машинного времени, то желательно применить методы, исполь-зующ,ие специфику поведения решения. В случае, когда \\\Х ; 1 при всех р, для описания решения можно было бы применить асимптотические методы. Однако на практике часто встречаются задачи, когда это условие пе вьшолнено, и поэтому применение асиьштотических методов невозможно или крайне затруднительно. Конечно, возникает вопрос, о каких проблемах идет речь, поскольку решение системы у = Ау выписывается в явном виде? Дело в том, что мы говорим об этой задаче как о моде.пьной; реально же метод применяется для решения какой-то, как правило, сложной задачи, и мы смотрим, как ведет себя метод в применении к пррстейшей задаче, где все выписывается в явном виде. Широкий круг прикладных проблем сводится к решению задачи Коши для так назьшаемых жестких систем дифференциальных уравнений. В частности, к таким системам относятся системы уравнений, возникаю-щ,ие при применении методов установления , S-X. dx , при минимизации функций /, у которых линии уровня имеют форму эллипсоидов с большим разбросом полуосей. В качестве модели таких систем берется система уравнений у = У, (6) удовлетворяюгцая определенным условиям на собственные значения матрицы А. Не существует установившегося определения жестких систем. Обычно систему (6) относят к классу жестких, если велшчина (шах Re Ар) X не является большим положительным числом, а величина (шах \\р\)Х 1 и а) величина (max ImAp)X не является большим положительным чи- слом, или . llmApl б)-- с при умеренных значениях о и с. о - xve Ар Нелинейную систему у = Г(ж, у) относят к классу жестких систем, если при всех х из некоторого отрезка длины X > О, принадлежащего области интегрирования, система уравнений У = iy[x, у{х))у относится к классу жестких систем в смысле приведенного вьппе определения. {хп, Уп) = Ь, {у(хп, у(ж )) = А. Для определения z(жn+l) нужно найти значение и{Н) решения системы и = Аи + b при начальном условии и(0) = 0. Эта задача решается в явном виде, однако для ее решения требуется знать все собственные векторы и собственные значения матрицы А. Если размерность матрицы А сколько-нибудь большая, то найти их -довольно трудоемкая задача. Поэтому целесообразнее следующий путь нахождения u(jFr). Решение системы уравнений и= Л(*)и+ b(i) при начальном условии и(0) = О записывается в виде u(i)= /V(t, i)b(T)dT. Jo Матрица W{t, t) является решением системы dW{t, t) при начальном условии W(r, г) = Е. = Ait)W{t, t) Из проводившихся выше рассуждений для случая системы (6) видно, что численное решение задачи Коши для таких систем требует разработки специальных методов решения. Такие методы в настоящее время разработаны, и на их основе созданы соответствующие комплексы стандартных программ. Рассмотрим простейшие варианты наиболее распространенных методов решения жестких систем. 1. Пусть уже найдено приближение у к значению у(ж ) и ищется приближение к значению yixn+i), Xn+i-x-a = Н. Разложим правую часть f(, у) в ряд Тейлора в точке [хп, Уп) f (ж, у) ~ f (ж, у ) + + (жп, у(ж )) (у - Уп) + . (7) В прикладных задачах, как правило, возникают такие жесткие системы, что £(ж, у) не зависит от ж или меняется относительно медленно с изменением ж. В этом случае главными членами в правой части являются первый и третий. За y,j+i примем значение в точке Xn-\-i решения системы z = f (жп, у ) -Ь iy [хп, у(ж )) (z - Уп) (8) при начальном условии z(ж ) = у . Произведем следующую замену переменных z(ж) - у = и(ж), X - Хп = t и введем обозначения 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 [131] 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |