|
| |
|
Слаботочка Книги Заметим, что Q2n{X) = П [(1 - ) - .f А] (26) Q2N{X) = l-2j2fhX + --- Из постановки задачи видно, что коэффициент при Л в многочлене Q2n{X) как раз и является величиной, которую мы должны минимизировать. Кроме этого должно вьшолняться условие устойчивости <Э2л() 1) что эквивалентно выполнению неравенства (32w(A) 1 при Л G [О, М]. Таким образом, мы пришли к следующ,ей постановке задачи. Введем класс Р многочленов степени 2N со свободным членом 1, не превосхо-дящ,их по модулю 1 на отрезке [О, М]. На этом классе требуется найти многочлен, производная которого в нуле является минимальной, т.е. требуется найти Q2N G Р такой, что Q2NiX) = ai-g min PriO). (27) Справедлива следующ,ая Лемма. arg nnnPriO) = T2N () = Q2n{XY здесь T27V - многочлен Чебышева степени 27V. Доказательство. Из определения многочленов Чебышева легко видеть, что T2;v G Р. Предположим, что утверждение леммы неверно. Тогда существует многочлен P2N G Р такой, что Р2л/(0) < <Э2л/(0). Рассмотрим разность г(Л) = Q2n[X) - P2n{.X). Эта разность является многочленом степени 2iV и в точке О обращается в нуль, так как P2N-, Q2N G Р- Пусть Ао, , Л2л/ - точки экстремума Q2N] при этом Ло = О, X2N = М. Так как Q2N многочлен четной степени, то signQ2N{X2j) > О, signQ2N{X2j+i) < О-Отсюда следует, что г удовлетворяет условию signr(A2j) О, signr(A2j+i) 0. (28) Найдем количество корней многочлена г на отрезке [О, М]. На отрезке [Ло, Ai] всегда имеется два корня. Действительно, г(Ло) = О и, по предположению леммы, г(Ао) > 0. Поскольку r{Xi) О, то это и означает, что Таким образом, мы можем записать соотношение, связывающ,ее и uq в виде UN = Q2NiA)uo, (25) такие, что Xj = + j, j = 1,... ,N, искомый многочлен T2N ~~д~~ можно записать в виде () = П (i - jjjtj]) - Mj) = м (29) Приравнивая при фиксированном j выражение, стоящее под знаком произведения в (29), к выражению под знаком произведения в (26) при том же j, получаем соотношение для определения паралуютров hj, jj: Таким образом, многочлен Q2n{X) = (~~М~~) действительно является решением поставленной задачи. Вычислим значение Q2n{G)-Для многочлена Чебышева T2Nix) справедлива формула на [Ао, Ai] имеется не менее двух корней. Если до точки X2J+1 во всех узлах Хк ( за исключением Aq ) имело место строгое неравенство (28), то на отрезке [Ао, X2J+1] имеется 2j+2 корня г(А). Пусть r{X2j+i) = 0. Тогда возможны два случая: или г (А) меняет знак в окрестности точки A2J-1-1, или знак в окрестности A2j4-i не меняется. В первом случае это означает, что на отрезке [Ао, A2J4-2] имеется 2j-Ь 3 корня. Во втором случае точка A2J+1 является кратным корнем г(А). Таким образом, до точки A2J+2 мы рассмотрели все возможные случаи и установили, что г (А) имеет с учетом кратности на [Ао, X2J+2] не менее 2j + 3 корней. Продолжая процесс подсчета корней, окончательно получаем, что на всем отрезке [Ао, X2n] многочлен г(А) степени 2N имеет не менее 2N + 1 корней. Полученное противоречие завершает доказательство. Следует отметить, что исходная задача до сих пор не решена, так как мы лишь нашли функцию из класса Р, удовлетворяющую условию экстремума. Однако ниоткуда пока не следует, что эта функция (многочлен) представима в виде (26). Покажем, что это действительно так. Многочлен Q2NiX) = T2N ( ) имеет на отрезке [О, М] ровно 2N корней: Xj = + Щ- cos j = 1, - , 2iV, которые расположены симметрич- но относительно точки --середршы отрезка [О, М]. Вводя величины Тогда dX MVx - 1 +ix-/f-(- У = М Так как 2-1 - [2N - 1)2-2 + o(v/;)) (1 - ЛЛ (32) (32) dT2N0 dT2N{x) 8N M (33) Таким образом, за 2N шагов численного интегрировагшя жесткой системы уравнений с помощью метода Эйлера мы можем получить приближенное решение на отрезке [О, в то время как при интегрировании той же системы уравнений с помощью явного метода с переменным шагом можно получить приближенное решение на отрезке [О, за то лее количество шагов. Отсюда следует, что использование переменного шага интегрирования позволяет увеличить при тех же затратах процессорного времени длину отрезка интегрирования в N раз, т.е. метод будет особо эффективным при больших Л. В настоящее время расчеты по указанному методу проводятся до значений N, достигающих порядка 10 . При этом N выбирается в каждой расчетной точке в зависимости от гладкости решения. Как правило, N выбирают среди чисел iV = 2-3. Следует отметить тот факт, что при практической реализации рассмотренного выше метода, как и в случае Чебышевского ускорения итерационных методов, очень важной является проблема правильного упорядочивания параметров процесса. В настоящее время эти задачи решены и на их основе создан комплекс программ Лебедева ВПМКА для решения жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений, который показал свою высокую эффективность на многочисленных задачах этого класса. Особенно эффективен данный метод по сравнению с другими при использовании многопроцессорной вычислительной техники, так как он легко распараллеливается. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 [134] 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |