Слаботочка Книги

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 [135] 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208

§ 10. Методы численного интегрирования уравнений второго порядка

Введением новых неизвестных функций дифференциальные уравнения порядка выше первого и их системы сводятся к системам уравнений первого порядка. Таким образом, при формальном подходе вопрос о численном решении задачи Коши для уравнений высших порядков можно было бы считать исчерпанным.

Однако методы, приспособленные специально для решения уравнений высших порядков, часто более эффективны. При разработке таких методов нужно также иметь в виду широкое распространение систем уравнений высоких порядков специального вида, учет специфики которых может еш,е более повысить эффективность методов. Например, ряд задач небесной механики сводится к интегрировалгаю систем уравнений

y -f(y)-

Рассмотрим несколько более широкий класс уравнений

у = 1{х,у).

Как и выше, рассуждения проводятся для одного уравнения, поскольку перенос результатов на случай системы осуш,ествляется автоматически. Традиционно наиболее распространенными методами интегрирования таких уравнений являются явный

Уп+1 - 2уп + Уп-1 = 4Е--( - У -*)

И неявный

Уп+1 - 2уп + Уп-1 = Е b-if{Xn-U Уп-г) (2)

j=-l

конечно-разностные методы. Эти методы можно было бы получить методом неопределенных коэффициентов, потребовав, чтобы разность

y{xn+i)-2y{xn)+y{xn-i) Д - .

г=-1

бьша величиной как можно более высокого порядка по h. Здесь, как обычно, предполагается Xn+i - ж = h.

Одним из наиболее употребительных среди этих методов является неявный метод четвертого порядка точности вида (2) (часто называемый методом Нумерова) при к = 1:

Уп+1 - 2уп + Уп-1 = h(f{Xn-l, Уп-l) + ~f{Xn, Уп) + Jf{Xn+l, Уп+l)),

который особенно удобен в случае линейных задач.

Для целей численного интегрирования уравнения у = /(ж, У, у)

употребительными являются следующие методы: значения -(/ и z приближений к у(хп) и у{хп) вычисляются из совокупности явных рекуррентных соотношений вида

Zn+i = Zn + bafcV7 , уп+1 = Уп + hYhzn+i

или неявных вида

Zn+l = Zn + hYckfn+l, Уп+1 = Уп + bdfcVZn+i. А:=0 А:=0

Уравнения более высокого порядка, чем второй, на практике часто сводят к системам уравнений второго или первого порядков (см, также § 9.11).

Как и в случае конечно-разностных схем для уравнений первого порядка, отбросим в (1) и (2) слагаемые, содержащие значения /, и рассмотрим получившееся разностное уравнение. В обоих случаях оно имеет вид

Уп+1 - 2уп + Уп-1 = 0.

Его характеристическое уравнение имеет кратный корень /7 = 1. Не нужно пугаться того, что корень оказался кратным: если в разностных схемах, аппроксимирующих уравнения первого порядка, перед значениями / стоял коэффициент порядка h, то здесь стоит коэффициент порядка h .

Все упоминавшиеся ранее разностные схемы интегрирования уравнения у - f{x, у) могут быть представлены в виде

к к

f-iyn-i - Е Ь-г/(ж ь уп-i) = 0, аоф 0; (3)

i=0 i=0

при ЭТОМ для гладкой функции

jY-Mn-i) у {Хп)

при фиксированном а; и /i 0; кроме того, Ь-г = 1- Пусть г -

погрешность аппроксимации (результат подстановки в левую часть решения дифференциальной задачи):

rn-i: ф -f:b-d{xn-. у{хп-4

i=0 i=0

§ 10. Методы численного интегрирования 411

и Со/г равномерно на всем рассматриваемом отрезке интегрирования [хо, хо + Х]. Как и в случае уравнений первого порядка, из-за округлений при вычислениях и неточности решения уравнения относительно неизвестной у в случае неявной схемы (Ьо ф 0) реально получаемое приближенное решение -(/ удовлетворяет (3) с некоторой погрешностью. Таким образом, имеем

к к

- Y-ifiri-i, Уп-i) = бп-г=0 i=0

Вычитая из этого соотношения предыдуш,ее, получим уравнение для погрешности Rn = Уп - у{Хп)-

к к

O-iRn-i ~ p~-dn-iRn~i ~ Уп, г=0 i=:0

где Ij = fy{xj, щ), Уп = Sn-Гп. Пусть

L = sup \fy{x, у)\ < оо.

Теорема (без доказательства). Пусть все корни характеристического уравнения разностной схемы

лежат в единичном круге и на границе круга нет кратных корней, за исключением двукратного корня, равного 1. Тогда при хо х хо X справедлива оценка погрешности

Rn - Rn-i

max ( \Rn\,

C(L,X) max g7i+ max \Rj\+ max

\xoxxo+X oj<k 0<j<fc

Rj - Rj-i

При шсленной реализации методов решения уравнений второго порядка с целью уменьшить влияние вычислительной погрешности целесообразно преобразовать расчетные формулы к другому виду.

Методы mcлeннoгo решения уравнений второго порядка могут быть использованы при численном решении уравнения, где производная решения не выражается явно через само решение и аргумент; для определенности рассмотрим скалярный случай

Fix, у, у) = 0.

Если бы это уравнение удалось разрешить относительно у , то получилось бы некоторое уравнение

у = fix, у).

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 [135] 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208