|
| |
|
Слаботочка Книги § 11. Оптимизация распределения узлов интегрирования Решения дифференциальных уравнений и систем могут иметь различную гладкость на различных участках отрезка интегрирования. На примере оценки погрешности метода Рунге-Кутта было видно, что вклад от погрешности интегрирования на некотором шаге Xni] в суммарную погрешность в точке xnXq+X равен произведению погрешности Первый возможный путь решения задачи состоит в формальном применении методов Рунге-Кутта или конечно-разностных методов; для каждых х иу значение / определяется путем численного решения уравнения F{x, у, /) = 0. Хорошее начальное приближение к искомому значению / можно получить интерполяцией ранее найденных значений, поэтому число требуемых итераций (например, в методе секущих) обычно оказывается небольшим. В случае неявных методов бывает целесообразно сразу решать систему уравнений F{Xn,yn,fn)=0, Ya-iVn-i - hYjb-il -, = О i=0 i=0 относительно неизвестных / . Иногда (крайне редко) поступают следующим образом: дифференцируя исходное уравнение по х, получают соотношения - (F(a;, у, у)) = Fx, у, у) + Fy{x, у, у)у + Ру,(х, у, у)у = О, ЛПх, у, у)) = --- = 0 и т.д. Ecjffl значение у{хо) уже найдено, то из этих соотношений можно явным образом определить значения у {хо),..., а затем получить y[xo+h) с помощью формулы Тейлора. Первое из этих соотношений можно переписать в виде у = у{х, у, у)- Отсюда получается третий путь решения задачи: из уравнения F{xo, Уо, yixo)) = О определяется у{ха), и далее численно интегрируется уравнение у = Ф, У, у)- на шаге на множитель ехр fy(x, у{х)) dx, зависящий от г/,. По- этому для некоторых классов дифференциальных уравнений становится особо актуальной задаха оптимизации распределения узлов интегрирования. Произведем анализ этой проблемы, не вникая в тонкости обоснования проводимых построений. Для простоты предполагаем, что начальное условие задано точно и округления отсутствуют. Погрешность результата численного интегрирования по методу Рунге-Кутта в точке х не превосходит Sn = Е ~ (жп)! ехр I I fy{x., уп(х)) dx\. (1) Предположим, что Хп = (p{n/N), (р{0) - .го, <(1) = хо + X, (p{t)- гладкая функщ1Я. Согласно формуле Лагранжа где [п - l)/N iji n/N, поэтому Н = шах (хп - Xn-i) 4; \(p{t) I . Я -> О при iV -> оо; 0<nN N [0,1] следовательно (см. § 4), имеем шах \уп{х) - у{х)\О при iV -> оо. Таким образом, можно написать асимптотические равенства (см. также § 4) ехр IJ fy{x, Уп{х)) dx ~ ехр fy{x, гу{х)) dxj , Уп ~ Уп-Фп) ~ VXn, у{хп)){хи - a;n-i)+ ~ используя которые, выражение (1) для представим в виде иХО+Х ] fy{x,y{x))dx\. (3) При гладкой функции Ф(*) и iV-> оо величина Е jy (т) 11=1 = / (4) / о I Ф(*) dt. к интегралу и, таким образом, Sn ~ N Дальнейцп1е построения являются некоторым усложнением построений из § 3.12. Примем (р за новую переменную в интеграле (4). Тогда он запишется в виде гхо+Х 1= / L{v)d, J жо L{(p) = (р{(р, ij{(p) (iM) l !/ fyix, y{x))dx . Задача минимизации интеграла (4) за счет выбора функции <f{t) и задача минимизации этого же интеграла за счет выбора обратной функц1ш t{(p) в форме (5) 3KBHBajreHTHbi. Вследствие равенства = О уравнение Эйлера d.<p \dt) dt~~ в данном случае приобретает вид = 0. Отсюда следует, что d,(p \dtJ dL ( \ ( f Гго-ЬА Ч - = -к [p, y{(p)j [t{(p)j exp IJ fy(x, y{x)) da-j = const. Возвращаясь к переменной ly?, получаем Решение этого дифференциального уравнения зависит от Ci и еще некоторой постоянной С2. Их значения следует определить из граничных условий ip{Q) = Жо, <(1) = Жо -Ь X. Отметим одно неочевидное обстоятельство. Уравнение (6) может быть записано в виде y{4>))\v\- Syix, y{x))dx = С, (7) куда не входят ни начальная, ни конечная точки интегрирования. При С = Са} уравнению (7) удовлетворяет также функция ip{at + Ь). Задавшись 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 [136] 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |