|
| |
|
Слаботочка Книги : £ = const е = const. i<fcmmax{Mfc, (t/n)fc} Параметры М, Mf. подбирают из соображений onTHMaj№HocTH распределения узлов в условиях конкретной задачи. Рассмотрим пример оптимизации распределения узлов интегрирования. Пусть задача Коши у{х) = Му{х) при Ha4aj№hom условии у(0) решается методом Эйлера. Тогда ф{х, у{х)) = -\if{x) = -у(О) ехр {Мх} некоторым N, осуществим одиовреметпюе интегрирование исходного уравнения и уравнения (7), выбирая каждьпЧ раз шаги интегрирования из условия Хп - Хп-1 ~ Nip(tn-i)- Скорее всего, мы придем в конечную точку Xq + X с числом узлов iVi, отличным от Л, и тогда это распределение узлов не будет являться оптимальным распределением, соответствующим данному N. Это естественно, поскольку, начиная вычисления, мы не могли заранее предвидеть хода поведения решения и сказать, какую величину С следует взять в правой части (7). Однако можно показать, что, вследствие указанных свойств решения уравнения (7), функция (fi{t) будет искомой и распределение узлов :p(n/Ni) ~ оптимальным (с точностью до погрешности численного интегрирования), соответствующим числу узлов Ni. Непосредственное интегрирование уравнений (1) и (7) встречает затруднение из-за необходимости вычисления значений функции ф{х, у(х)). Вме1:то непосредственного вычисления значений этой функции целесообразно использовать величину контрольного члена точности на niare. При чис7юнном интегрировании уравнения (7) следует также иметь в виду, что эти соотнопгения носят асимптотический характер. В окрестности точек, где (ж, у{х)) = О, в остаточном члене начинают играть существенную роль слагаемые порядка - 2;n-l) Дoпoлнитeльнoe численное интегрирование уравнения (7) может сильно усложнить репгение задачи. Поэтому к вопросу оптимизации распределения узлов часто подходят следующим образом. Пусть репгаются задачи из некоторого определенного класса. Рассмотрим модельную для этого класса задачу, для которой можно в явном виде репгить уравнение (7). Постараемся иа ее примере установить зависимость niara (или меры погрегпгюсти на шаге) от поведения решения, при которой распределение узлов близко к оптимальному. Далее все задачи этого класса интегрируем с шагом, соответствующим этой зависимости. В других случаях заранее задаются некоторой формой такой зависимости. Пусть система уравнений порядка т интегрируется с контролем точности на шаге. В случае системы уравнений контрольный член г будет некоторым вектором г = (г,\,..., т, )- В ряде программ шаг интегрирования выбирается из условия г /тах{м, или из условия и уравнение (б) имеет вид ift)-J- У(0) ехр {Мр} ехр {М(Х - <)} = const. Отсюда получаем с, = const, т.е. распределение узлов следует взять равномерным. Наибольшего эффекта решение задачи оптимизации распределения узлов или ее упрощенных вариантов достигает в случае решений с особенностями производных и при реше1ши задач с малыми параметракш при старших производных, например задач типа пограничного слоя. Литература 1. Бахвалов Н. С. Некоторые замечания к вопросу о чиспенном интегрировании дифференциа.,1ьных уравнений методом конечных разностей. ДАН СССР. ~~ 1955. - 104, N 6, С. 805-808. 2. Винокуров В. А., Ювченко Н. В. Полуявные численные методы решения жестких задач ДАН. - 1985. - 284, N 2, С. 272-277. 3. Крьшов В. PL, Бобков В. В., Монастырньп ! П. И. Начала теории вычислите.пьных методов. Дифференциальные уравнения - Минск: Наука и техника, 1982. 4. Крылов В. И., Бобков В. В., Монастырный П. И. Вычисиительные методы. Т.2 - М.: Наука, 1977. 5. Лебедев В. II. Как решать явными методами жесткие системы дифс])еренци-альных уравнений Вычислительные процессы и системы -М.: Наука, 1991. Вып.8, С. 237-291. 6. Ракитский Ю. В., Устинов С. М., Черпоруцкий П. Г. Численные методы решения жестких систем - М.: Наука, 1979. 7. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциапьных уравнений Под ред. Дж. Холла, Дж. Уатта -М.: Мир, 1979. 8. Федоренко Р. П. Жесткие системы обыкновенных дифференциальных уравнений и их численное интегрирование В ки. Вычислите.пьные процессы и системы. Вып. 8, М.: Наука, 1991. С. 328-380. 9. Федоренко Р. П. Введентю в вьгпгслитсльную физику- М.: Изд-во МФТИ, 1994. 10. Хайрер Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально-а.11гебраичегкие задачи -М.: Мир, 1999. 11. Хайрер Э., Нерсетт С, Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи -М.: Мир, 1990. 12. Butcher 1. G. А modified multistep method for the numerical integration of ordinary differential equations J. Assoc. Comput. Math.-1965, 12, N 1. P. 124-135. 13. Dahlquist Y. Stability and error bounds in the numerical integration of ordinary differential equations - Uppsala, Almqvist & Wiksells boktr 130 (1959). P. 5-92. Численные методы решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений При решении краевых задач возникают дополнительные трудности по сравнению! со случаем решения задачи Коши: значителыю сложнее исследуется вопрос о существовании решения: после написания сеточной задачи возникает система линейных или нелинейных уравнений, проблема решения которой требует дополнительного изучения, § 1. Простейшие методы решения краевой задачи для уравнений второго порядка Среди краевых задач для обыкновенных дифференщ1альных уравнений существенную тасть составляют задачи для уравнений и систем второго пор5щка. В частности, такие задачи возникают в баллистике, теории упругости и т.д. Начнем изучение вопроса с одной частной, но довольно распространенной краевой задачи. Ищется решение уравнения Ly = y -p{x)y = ,fix} на (0,Х) (1) при граничных условиях у{0) = а, у{Х) = Ь. (2) Зададимся шагом h = XN~, N целое; точки Хп = nh примем за узлы сетки; как обычно, у -приближения к значениям у{х ). После замены производной у {х ) на разностное отношение бУп Уп+1 - 2-</п + Уп-1 получаем систему уравнений Куп) = - РпУп = fn, п = I,..., N - I; (3) здесь Рп=р{хп)-, fn - f{xn); граничные условия заменим соотношениями Уо = а, ум = Ь. (4) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 [137] 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |