|
| |
|
Слаботочка Книги max гг тахго, 2;д? + Z --, где Z= max 0<n<N Доказательство. Введем в рассмотрение функцию .... , I..... nh{X - nh) nh\ , .nh Для многочлена второй степени величина bQjh совпадает со второй производной, поэтому bWnjh = Из явного вида следует, что Wn О, поэтому l{Wn) = 6Wn/h - РпЩг 4 l{Wn ± Zn) -Z ± l{Zn) 0. Имеем Wo±Zo = \zo\ ±Zo0, WN±ZN = \zn\ ±znG. Функции Wn±Zn удовлетворяют условиям леммы 1, поэтому Wn±Zm О- Отсюда следует оценка \zn\ \wn\ max \wn\- Имеем неравенства 0<n<N = max{2;o, \zn\}, nh{X - nh) 4 x2/4. Поэтому max \wn\ 4 maxl \zol \zn\ \ + Z -. OnN У- jo Лемма доказана. Рассмотрим случай, когда функции р{х) и /(ж) дважды непрерывно дифференцируемы. В курсе дифференциальных уравнений доказывается, что тогда решение у{х) четырежды непрерывно дифференцируемо. Покажем, что при р{х) О система уравнений (3), (4) имеет решение, и дадим оценку погрешности. Лемма 1. Пусть р{х) > О, l{zr,) О, zq, zn > 0. Тогда z О при всех п. Доказательство. Обозначим min Zn через d. Предположим, что d < О И, следовательно, dzo, zn- Пусть g -наименьшее целое такое, что = d; из определения dug имеем Zg-i > d, Zgj.i d. Тогда fa..-a)H-(z, .-d) 5 И МЫ приходим к противоречию с предположением d < 0. Лемма 2. Если р{х) О, то для любой функции Zn выполняется неравен- \z \ max { гп1, \zn\ У + Z 0<п<! Пусть г ~ погрешность аппроксимации, соответствующая конечно-разностной схеме (3): Гп = 1{у{хп)) - fn = Поскольку р{х)у{х) + f{x) = у {х), то - yjri+l) - 2у{Хп) + y{Xn-l) , S. Из оценок погрешности формул численного дифференцирования (§ 2 15) имеем Тп =--, где Хп-\ < Хп < Хп+\- (6) Из-за округления получаемые в процессе вычислений приближения у к значениям у{хп) удовлетворяют системе (3), (4) с некоторыми погрешностями 1{Уп) - fn = ёп. (7) Вычитая (5) из (7), получим уравнение /(jR ) = Sn - Гп относительно погрешности приближенного решения Яп = Уп~у{хп)- Воспользовавшись леммой 2, получим jR шах (До, \Rn\\ + ~- ( тах \г?г\ + max <5 ). L Jo \0<n<N 0<n<N / Согласно оценке (6) имеем кгг Mi, М4 = max г/\х) Таким образом, окончательная оценка погрешности имеет вид тах\Пп\ max {Ло, Ш} + ~ тах Мы видим, что при повышении точности, с которой удовлетворяются граничные условия и разностное уравнение, при одновременном стремлении шага к нулю решение сеточной задачи сближается с решением дифференциальной задачи. Описанный метод дает приближенное решение, сходящееся к точному со скоростью 0(/i2). Займемся построением более точных схем. Будем предполагать, что функции р{х) и f{x) непрерывно дифференцируемы - РпУп = fn- (9) /г2 12/г2 Эту схему можно также построить непосредственно, заменив производную у {хп) выражением h--(sy{xn) - {1/12)6у{хп)), приближающим ее с погрешностью О (/г*). Уравнение (9) содержит пять неизвестных уп с ненулевыми коэффициентами. Решение системы, состоящей из уравнений (9) и уравнений, получающихся при аппроксимации граничных условий, более трудоемко, чем решение системы (3). Исходя из других соображений, построим конечно-разностную схему с погрешностью аппроксимации 0{h) такую, что в каждое уравнение входят только три неизвестных. Дифференцируя дважды исходное уравнение, имеем уЦх) - {р{х)у+ /) , поэтому {pn+iyjXn+l) + fn+l) - 2(pnlj{x ) + fn) + (pn-iyjXn-l) + fn-l) Вычитая из исходной схемы приближение для yh/12, получим схему -РпУп - {РпУп + fn) = fn четыре раза, тогда решение задачи непрерывно дифференцируемо шесть раз. Еще раз рассмотрим выражение y{xn+i) - 2у(хп) + y(xn-i) Гп = -Р--У [Хп). Подставим сюда представление y{x ±i) с помощью формулы Тейлора: y{xn±i) = У{хп) ± yixn)h + ?/ (x-n)y ± у К)- + + УЧхп)±УЧхп)+0{Н) и получим Вычтем из 1{у{хп)) слагаемое, аппроксимирующее величину y)(.г,J/г/12; полученной схеме соответствует погрешность аппроксимации более высокого порядка. Например, можно приблизить у(*)(х ) выражением Syjxn) у{хп+2) - 4у(хп,-ц) + 6у(ж ) - 4y(a;n i) + у{хп2) получится конечно-разностная схема 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 [138] 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |