|
| |
|
Слаботочка Книги = РпУп - ёРпУп) = PHfn) = fn + efn. Этот метод совпадает с методом Нумерова. В предположении, что решение непрерывно дифференцируемо восемь раз, рассмотрим погрешность аппроксимации новой схемы = 1{у{хп)) - (/п)-Учитьшая, что р,гу{хп) + fn = у (хп), получим r,W = г(1)(?у(ж )) - Г(1)(/ ) = - у {хп) - s-V{x,). Воспользовавшись формулой Тейлора, аналогично (8) получаем равенство Построим приближение вепичины уЦх) посредством значений 2/(a; i), у(хп), Таких приблиисений можно написать очень много, например следующим образом. Согласно уравнению (1) y =py + f, y = ipy + f)\ У = {py + f) , у(е) = {ру + = pyW + 4р2/(з + 6р у + 4р(з)у + pWy + /(4) поэтому справедливо приближенное равенство , . ч {p +iy(Xn+l) + f +i) - iPn-iy{Xn-l) + fn-l) , + 4p (Xn) -b + 6р-Чхп){р,.уЫ + fn) + 4p()(.x )( +-/(- -) + + P4xn)yiXn) + fHxn). Прибавляя к 1Цуп) выражение, приб.пижающее y>{xn)h/240, получим конечно-разностную схему с погрешностью аппроксимации О(Л); при этом в каждое уравнение получившейся алгебраической системы входят только три неизвестных уп- Для практической оценки погрешности решения краевой задачи может применяться правило Рунге. Законность его применения основывается на существовании главного члена погрешности. Задача 1. Пусть функции р{х) и f{x) четырежды дифференцируемы. Доказать, что для региения задачи (3), (4) справедливо соотношение max \уп - у{хп) - hz{x )\ = 0(/г*); здесь г (ж)- решение краевой задачи Lz = -г/Чх)/12, z{0) = О, z{X) = 0. Однако погрешность аппроксимации будет меньше и решение возникающей алгебраической системы представит меньше трудностей, если идти по описанному выше пути последовательного повышения порядка точности аппроксимации. Заменим производную у(0) отношением () тогда получим ,(1), , У1-У0 т-г (1) y{h)-y{0) 0 (Уп) = ---агуо-а = 0. Подставляя в гу =---mj{0) - а разложение y{h) = у(0) + y{0)h + 0{h), имеем .<) = ,(0) + + О(Л) а,АО) - = + 0(k). Таким образом, погрешность аппроксимации граничного условия есть 0{h). Поскольку, согласно уравнению (1), y {0)=Poy{0)+fo, то уравнению 1о{Уп) = ° - оуо - о - {роУо + /о) 2 = О соответствует второй порядок аппроксимации. Подставляя в = ifHyixn)) разложение y{h) = у{0) + y{0)h + y {0)h/2 + 0{h), получим (2) yHO)h Го ~ ния (1) имеем (2) У-{)h-- 0{h). После дифференцирования исходного уравне- УНО) -Р0У{0) -ртт - /(0) = 0; поэтому с учетом граничного условия справедливо равенство УЧО) = Po(mj(0) + а) +р{0)у{0) + /(0). Разностному уравнению оЧуп) = ф{Уп) - ((Р0 + р(0))г/о +Роа + /(0)) - = О будет соответствовать уже третий порядок аппроксимации. Аналогичный прием последовательного повышения порядка погрешности аппроксимации может быть применен и по отношению к аппроксимациям граничного условия. Рассмотрим случай граничного условия у(0) - ау{0) - а. Дискретное приближение высокой точности к такому граничному условию можно получить непосредственно, заменив производную у(0) по какой-либо формуле численного дифференцирования высокой точности: 2 6 затем выразить производные у (0) и у)(0) через у(0) и, вычитая из разностной схемы соответствующее выражение, получить уравнение 1\уп) - О- Однако мы обратили основное внимание именно на способ посгюдовательного повышения порядка точности, поскольку его перенесение на случай уравнений в частных производных является наиболее простым и естественным. § 2. Функция Грина сеточной краевой задачи Функщ1Я Wn, введенная в § 1 при доказательстве леммы 2, носит название мажорирующей функции, и мегод получения оценок погрешности с использованием этой функгщи называется м.етодом. мажорант, или м.е-тодом. Гершгорина. В ряде случаев, когда метод мажорант неприменим, оценку погрешности приближенного решения можно получить, используя так называемую сеточную функцию Грина. Проводимые ниже построения функции Грина сеточной краевой задачи (1.3), (1.4) кроме всего прочего интересны своей аналогией со случаем дифференциальной краевой задачи. Функция Грина G{x, s) дифференциальной краевой задачи Ьу = у -р(.г)г/ = /(ж), у(0) = а, у{Х) = Ь, определяется как решение уравнения Ь{0{х, б)) = С,(ж, S) - р(х)С(х, б) = Six - 6) (1) при граничном условии 0(0, s) = G{X, s) = 0; здесь (а;) - -функция. Функцию Грина можно задать следующими явными формулами. Пусть И(ж), W{x)-решения уравнения L(W) = 0 при условиях WO) = О, (И)(О) = 1, WiX)=0,{W){X) = -1; тогда W{s)W\x) Wis)W{x) G{x, s) = < где V - значение определителя Вронского: И1(ж) Wix) при о ж S, при S х X, У(ж) = (Ж1)(ж) {W)4x) = const = V°. Можно было бы сразу написать равенство 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 [139] 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |