Слаботочка Книги

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 [140] 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208

Решение задачи (1.1), (1.2) записывается с помош,ыо функции Грина в виде

х)= I С{х, s)f{s) ds + G,(.T, X)b ~ G,{x, 0)a. Jo

Перейдем к сеточной задаче

,/ ч Уп+1 - 2уп + Уп-1 г ,

ЧУп) = -р--РпУп = in, Уо = а уыЬ.

По аналогии определим функции W, из соотношений

Z(TK) =0, г = 1, 2, п = 1,..., - 1,

= О, Wl = /г, Wl = О, Wli = h.

Здесь и далее оператор I применяется при фиксированном верхнем индексе

Аналогом определителя Вронского является определитель

ТЛ/1 Ы/1 Ы/2 тЛ/2

п *п-1 *п *п-1

к. =

п** n-1 nn-l

Из тождества

() = Wll{Wl)-Wll{Wl) = Ж+1 + WlWl , - WlWl, - WlWl x Vn+1 - Vn

следует, что величина Vn не зависит от п; будем обозначать ее V{h). Положим

V{h)

при к 4 п 4 N.

Из определения П следуют равенства

при п < к,

при п > к; при к = п имеем

-PnG =

V{h)

V{h)Ii

W} (Wl,-2Wl + Wl ,

V{K)

V{h)K-

Согласно определению первая круглая скобка равна 0; вторая скобка равна V{h)h. В итоге при к = п получаем /(G) = h~; объединяя полученные соотношения, имеем

l{G) = cth~\ (5)

Функция 6nh~ является сеточным аналогом (-функции, а равенство (5) - аналогом (1). Сеточные функции W, г = 1, 2, являются решениями сеточных задач Коши, соответствующих задачам Коши, определяющим функции W{x).

Предположим, что

lp lic[o,x] = sup р Мо < оо;

0<х<Х

тогда можно показать, что

{W4x))

С10,Х]

< ОО.

Оценив близость начальных данных и воспользовавшись далее (недоказанной) теоремой из § 8.10, можно получить оценку близости сеточных и дифференциальных решений задачи Коши вида

шах \W - WHnh)\ M/i, i = 1, 2.

Согласно свойствам V и V{h) имеем

V = V{X) = V{h) =

iwnx) -1 о

Поэтому

на основании оценки (7).

Gi - G{nh, kh)

при о kh, nh 4 X.

Лемма. Если V{h) ф О, то рассматриваемая сеточная задача (1.3), (1.4) однозначно разрешима и ее решение записывается в виде

yn = hYGih + ,a+b. (9)

Формула (9) является сеточным, аналогом форм.улы (2).

Доказательство. Поскольку согласно определению функции G здесь выполняется равенство Gq = G = О, то уо = а, yj = b. Имеем равенство

к=1 N

коэффициенты при а н b равны нулю по определению функций W-Воспользовавшись равенством (5), получим 1{уп) = fn- Таким образом, система линейных уравнений (1.3), (1.4) при любых правых частях имеет решение, записываемое в виде (9). Но если система линейных уравнений разрешима при любых правых частях, то ее решение единственно. Лемма доказана.

Соотношение (9) может быть двояким способом использовано для оценки близости решений сеточной и дифференциальной задач.

Первый путь состоит в непосредственном сравнении выражений (2) и (9). Для простоты продемонстрируем его в случае а = b = О, = 0. Подставляя х = nh, перепишем (2) в виде

rnh гХ

y{nh) G{nh, s)f{s)ds+ G{nh, s)f{s)ds.

Jo Jnh

Далее предполагается, что W{X) 7 0; в противном случае однородная краевая задача у - р{х)у = О, у(0) = у{Х) = О имеет ненулевое решение W{x), а следовательно, неоднородная краевая задача (1.1), (1.2) или не имеет решения, или имеет неединственное решение. Будем также предполагать h настолько малым, что 2Mli < VF(X) = IFJ. В этом случае имеем

V{h) F° - Mh F°/2 > О-

Сравнивая явные выражения функции Грина дифференциальной (2) и сеточной (4) задач с учетом оценок (7), (8), получаем

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 [140] 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208