|
| |
|
Слаботочка Книги кг=П+1 ) Разбиение интеграла на две части потребовалось в связи с тем, что погрешность формулы трапеций оценивается через вторую производную подынтегральной функции, а функция G{nh, s) имеет разрыв первой производной в точке nh. Поскольку из определения функции Грина G{x, s) следует, что G{nh, 0) = G{nh, N) = О, то y{nh) = /г Е )/ + ()- (10) fc=i Из равенств (9), (10) следует Уп - y{nh) = hY,{Gn- Ginh, kh))h + 0{h% k=i Воспользовавшись оценкой (7), получим yn-y{nh) = 0{h). Нетрудно проследить, что эта оценка погрешности равномерна по п при О ж X, т. е. max yn~y{nh) =0{h). Другой путь состоит в получении уравнения для погрешности и дальнейшей оценки погрешности с помош,ью формулы Грина. В § 1 было показано, что погрешность 7? удовлетворяет уравнению l{Rn) = ёп - Гп, где \гп\ Mh/12, -погрешность, обусловленная неточностью решения системы (1.3), (1.4). Пусть Rq = Rn = 0. Из явного вида функции Грина дифференциальной задачи сгюдует ее равномерная ограниченность; с учетом (7) получаем, что функция Gn также равномерно ограничена: \Gn\ D при О kh, nh X. Напишем явное представление Rn с помощью формулы Грина (9): Rn = hJ2Gn{Sk-rk). (И) При условиях / с[0,л:] < оо и (6) можно показать, что подьнтгегральные функции в обоих интегралах имеют ограниченную вторую производную. Заменим оба эти интеграла по формуле трапеций с шагом h. Получим fG{nh,0)f(0) , G{nh,nh)f{nh) y(nh) = h -2 + ~- 2 \ к=1 § 3. Решение простейшей краевой сеточной задачи При численном решении задачи Коши значения решения определяются в последовательных узлах по рекуррентным формулам: в случае краевой сеточной задачи, например (1.3), (1.4), такой возможности нет, поскольку значения решения зависят от граничных условий на обоих концах отрезка интегрирования. Краевую задачу у -p{x)y = f{x), y{G) = a, y{X) = b можно было бы решать следуюгцим способом. Возьмем частное решение Уо{х) неоднородного уравнения Уо-р{х)уо = fix) и два линейно независимых решения однородного уравнения у -p{x)yi = О, i = 1, 2. Общее решение неоднородного уравнения запишется в виде У{х) = Уо{х) + Ciyi{x) + С2У2{х)-, постоянные Ci и Сг определяем из граничных условий. Приближения к функциям yi{x), г = О, 1, 2, находим каким-либо численным методом решения задачи Коши, затем определяем Ci и получаем нужное решение. Экономнее поступить следующим образом. Находим частное решение неоднородного уравнения уо ~ р{х)уо = f{x), удовлетворяющее условию уо(0) = а, и частное решение однородного уравнения yi{x), удовлетворяющее условию yi(0) = 0. Общее решение неоднородного уравнения, удовлетворяющее условию у(0) = а, имеет вид уо{х) + Cyi(x); значение С определяется из условия уо{Х) + Cyi{X) = b. Тогда из (11) следует оценка \Rn\Dhj2{m + \rk\). Загрубляя, получим оценку \Rn\ < DX {h + max 4 \ 12, 0<k<N имеюгцую tot же порядок по отношению к h а max., ito и полученная в § 1 оценка. Эта оценка применима и при infp(i) < О, когда лемма 1.2 неприменима. Таким образом, использование аппарата функции Грина позволяет расширить множество задач, для которых удается получить оценку погрешности сеточного решения. Метод решения краевой задачи, соответствуюш,ий этой схеме, принято называть методом, стрельбы или методом пристрелки. Сеточный аналог этого метода заключается в следуюгцем. Задаемся = а, у1 = О, произвольными У1 # О и у и из уравнений 1{Уп)=~-р--РпУп=1п, (1) ОЛг) = -J2--Р7гУп = 0, (2) посгюдовательно определяем У2-,---,У%-, У2т--->Уи- Затем находим С из уравнения уд? -)- Cy\f = Ь и полагаем у, = Уп + Су,\; функция у является требуемым решением. Иногда значения у, г = О, 1 не хранят в процессе вычислений, а после отыскания С находят yi = у\ + Су\ и затем последовательно определяют У21- 1 yN~\ из уравнения 1{уп) = fn- Описагшый алгоритм формально применим при любых значениях у\ и у}; однако для уменьшения влия-Ш1Я вычислительной погрешности разумнее взять yJ = а -Ь 0{h). Рассмотрим модельное уравнение у - р{х)у = 0, /; = const > о, же [О, X]. (3) Решения соответствующего однородного уравнения у (ж) = ехр{±уж} сильно возрастают (убывают) на рассматриваемом участке, если величина л/рХ достаточно велика. Таким образом, при р > О величина у/рХ является параметром, существенно влияющим на характер накопления вычислительной погрешности. Рассмотрим накопление вычислительной погрешности на одном из этапов решения сеточной задачи. Пусть уже найдено значение у\ и далее вычисления проходят по рекуррентной формуле Уп+1 = 2у - у 1 + рНуп- (4) Получаемые при реальных вычисгюниях величины у* связаны равенством Уп+1 = - Уп-i + PhVn + ёп\ наличие слагаемого 8п в правой части обусловлено округлениями. Вычитая отсюда (4), получим уравнение относительно погрешности А = у1 - Уп- Ап+1 = 2Ап - Ап 1 + plxAn + 6п- (5) Рассмотрим следующую модель накопления погрешности: ёп = S - const и погрешности в уо и yi отсутствуют, т.е. Aq = Ai = 0. Урав-Hemie (5) можно переписать в виде Ап+1 - 2Ап + Ап-1 . А . -р-=рАп + ш, = j- (6) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 [141] 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |