|
| |
|
Слаботочка Книги An ~ А(ж ) =--W. Асимптотическое равенство понимается здесь в обычном смысле: А /А(ж ) -л 1 при h -л О, у/р, Хп = const, .г ф 0. (8) При умножении w на какой-либо множитель на этот множитель умножится как А , так и А(ж ), поэтому (7) и соответственно (8) справедливы и при ы, зависящем от /г, т.е. в рассматриваемом случае л сЬ{уЖп} - 1 п-оп--- Рассмотрим числовой пример: р = 10, Хп = 10, h = 10~, Ь = 10~; тогда (7 > 10 и нельзя рассчитывать на получение решения с разумной точностью. Отметим, что значение величины у/рХп, определившее столь большую величину накопленной вытаслительной погрешности, бьшо не очень большим. При естественной нумерации неизвестных уо, i VN система уравнений (1.3), (1.4) записывается в виде Ау = с, где матрица А трех-диагональная. Напомним, что матрица А = [оу] называется (2т -1-1)-диагональной, если = О при г - i > m. Для решения систем уравнений такого вида часто наиболее целесообразно применять метод Гаусса при естественном порядке исключения неизвестных. В случае, когда этот метод применяется для решения систем уравнений, возникающих при аппроксимации краевых задач, его называют методом прогонки. Приведем конкретные расчетные формулы метода прогонки в случае системы (1.3), (1.4). Представим граничное условие уо = о в виде уо - Соу\ + ipo, где Со = 0, щ = а. Подставляя уо = Суг + ifo в первое уравнение системы (1.3), (1.4) уо - 2у1 +У2 , ---рт = /ь получаем уравнение, связывающее значения yi и у2- Разрешая это уравнение относительно yi, имеем У1=С1У2 + (р1, (9) При U) - const совокупность соотношений Ао = Ai = О и (6) образует сеточную задачу, аппроксимирующую задачу Коши А = рА + W, А(0) = А(0) = 0. Можно проверить, что условия теоремы из § 8.10 выполнены, поэтому решения этих задач будут близки: Псдставляя полученное выражение yi через у2 во второе уравнение системы, получим уравнение, связывающее У2 и уз, и т.д. Пусть уже получено соотношение Уп СпУп+1 + ¥>п; (10) подставим выражение у в (п + 1)-е уравнение системы (1.3), (1.4): Уп - 2?/,г+1 + Уп+2 Рп+1Уп+1 = /г7+1- Разрешая получившееся уравнение {СпУп+1 +Уп)- Уп+1 + Уп+2 /г2 - Рп+1Уп+1 = fn+l относительно Уп+\, имеем Уп+1 = Сп+1Уп+2 + Vn+r-, здесь Сп+\ - Уп+\ = Cn+v{<Pn - fn+lh ). (11) Таким образом, коэффициенты уравнений (10), связывающих последовательные значения у и Уп+i, можно определять из рекуррентных соотношений (11) при начальных условиях Со = 0, <ро = а. Так как удг известно, то после нахождения всех коэффициентов С, (fn можно последовательно определять yN-i,----,yi из соотношений (10). Процесс вычисгюния коэффициентов Сп, <Рп принято называть прямым ходом, прогонки, а процесс вычисления неизвестных уп - обратным ходом прогонки. Последовательность производимых вычислений можно изобразить следующей схемой (на этой схеме а -> b означает, что значение а используется при вычислении Ь): прямой ход прогонки
Названию Уравнение шетод прогонки иногда предлагается следующее объяснение. Уп = СпУп+1 + <Рп получено как следствие граничного условия в точке х = О и уравнений системы (1.3), соответствующих точкам Xi х . Таким образом, это равенство выпап-нено для любого решения системы уравнений l{yj) = fj, j = 1, п, удовлетворяющего левому граничному условию; граничное условие в точке х = О перегоняется в текущую точку х = х- . Задача 1. Выписать расчетные формулы метода квадратного корня в случае решения рассматриваемой системы. Сравнить трудоемкость этого метода с трудоемкостью метода прогонки. Применим для решения системы (1.3), (1.4) метод Гаусса при порядке пск.пюче-ния неизвестных уо. уо, , yj\, yj Из первого уравнения выражаем у-) через ух и подставляем в остальные уравнения. После этого во второе уравнение входят тапько неизвестные yi и г/з; выражаем г/з через yi и подставляем в оста.пьные уравнения и т.д. Пусть уже выразили через у\ неизвестные у>, , Уп и гюлу-чили соотношения у = ajyi 4- (ij при 2 j п\ для единообразия добавим сюда равенства Уо = ooj/i + /5о, где о = О, /Зо = а, г/1 = axvi + iix, где 1 = 1, = 0. Подставляя выражения Уп-i и i/ в уравнение - (2 р,У)ип + Уп+1 = fJi\ получим (a-n-ii/i + Pn-i) - {2Л-рп1г-){апУ1 + Рп) + Уп+1 = У,1+1 = On+iyi + п+1 = {2+pnh)a ~ а 1, (12) Рп+1 = (2 + Pnh)Pn - Pn~i + fnh. Таким образом, коэффициенты а , рп южиo последовательно вычислять по рекуррентным формулам (12). После получения соотношения г/дг - ayi + Pn определяем значение yi, а затем все yj по формулам yj = ajyi+Pj- (13) Вследствие (12) значения удовлетворяют однородному конечно-разностному уравнению (2) и начальным условиям о = О, oj = 1; значения pj - неоднородному конечно-разностному уравнению (1) и начальным условиям Ро - а. Pi - 0. Таким образом, а совпадает с а рп - сув методе стрельбы при опреде.пенном выборе начальных условий. Функция z = ОпС + рп удовл творяет неоднородному конечно-разностному уравнению и левому граничному условию при любых С, причем Zi = aiC + pi = С. Следовательно, решая уравнение J/7V = otvC + Pn относительно С, мы как раз находим значение С - yi, которое отыскивалось в методе стрельбы. Вычисления по формуле (13) соответствуют вычислению значений Уп по формуле / = уС + у- Полученный метод совпадает с методом стрельбы при у°=а, у° = 0, 2/ = 1, у1=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 [142] 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |