|
| |
|
Слаботочка Книги  Рис. 9.3.1  Рис. 9.3.2 при начальном приближении Со = 0. Уравнение С =: д{С) равносильно квадратному уравнению С--(2+р/г)С + 1 = 0; (20) его корни C(i),C(2) = l + V-±V + При р/г > О имеем C(i) > 1; поэтому О < С(2) = С < 1. При р < О и h малюм подкоренное в?лражение отрицательно и уравнение (20) пе имеет вегцественных корней. Совместное расположение графиков у = С и у = д{С) и точек (С , С ), (С , C +i) изображено на рис. 9.3.1, 9.3.2. Видно, что при р О значения С лежат в пределах О < С 1 (рис. 9.3.1). При р < О не исключено (рис. 9.3.2), что при достаточно больших п некоторое значение С окс1жется близким к 2 + ph; тогда следуюгцее значение Cn+i будет очень большим и может произойти переполнение. Рассмотрим вопрос о накоплении погрешности при вычислении коэффициентов С . Из (19) получаем, что дСп+1 J дСп (2 + р /г2-С ,)2 = (С п+1) Следовательно, возмущения в коэффициентах С связаны соотношением SCn+i ~ СбСп и при больших Сп происходит также большой рост погрешности. Отмеченные выше обстоятельства приводят к необходимости более детального изучения влияния вычислительной погрешности, по крайней мере при р < 0. § 4. Замыкания вычислительных алгоритмов При предварительном анализе алгоритмов каждый раз удавалось многое понять, рассматривая случай решения модельной задачи. Другим эффективным приемом предварительного анализа является использование понятия замыкания вычислительного алгоритма, введенного Соболевым. Чтобы не загромождать изложения, ограничимся рассмотрением существа проблемы; поэтому многие из проводимых в этом параграфе построений не всегда подробно обосновываются. Пусть решается некоторая задача Lu = ,f (1) и пусть = / (2) - последовательность задач, зависящих от параметра h (например, шага сетки), решения которых и сходятся при /г -) О к решению исходно!! задачи (1). Предположим, что алгоритм решения задачи (2) состоит в последовательном получении некоторых соотношений L:n t, = t. m = l,....M; (3) при этом Lljr = £ - единичный оператор, и = fi ~ (Ь) / = и, т.е. на М-м шаге полутается точное решение и. Пусть можно ввести параметр г{тп, h), монотонно зависящий от т, такой, что при /г -> О и Z фиксированном соотнопюние (3) переходит в пределе в соотношение L,y = h, Oz zo; (4) здесь zq = lim z(M, h). Соотношение (4) называется замыканием вычислителгтого алгоритма, (3). Мы не дали строгого определения замыкания вычислительного алгоритма. Существо де.ла станет понятнее после рассмотрения замыканий алгорит.мов решения краевой задап-1. Определение понятия вычислительного алгоритма не исключает возможности М = оо. В этом случае равенства понимаются в том смысле, что L-E, /->(Z )-V - при ш-оо. Случай М = оо соответствует итерационным методам решения задачи (1). Если операторы равномергю ограничены по лг, то говорят, что алгоритм (3) имеет регулярное замыкание. В противном случае говорят, что алгоритм имеет нерегулярное замыкание. Если замыкание алгоритма регулярно, то есть основания предположить, что он устойчив к различным возмущениям, в частности к вычислительной погрешности. Поэтому исследование замыкания алгоритма является удобным способом получения предварительного суждения был конечен и отличен от нуля. Возьмем A(/i) = h ; тогда = I (у(х) - (l - + Oih) {у(х) + yix)h + 0{h)) = Таким образом, (6) имеет ненулевой предел. Применим такую же нормировку и в общем случае. Поскольку в рассмотренном примере существовал предел v Gn-1 lim-;- при nh = X, hO h о свойствах нового метода на первоначальной стадии изучения вопроса. Такая предварительная оценка свойств метода не всегда оказывается окончательной. Может случиться, что операторы равномерно ограничены, но очень большой постоянной, что равносильно практической пе-ограниченности. С другой стороны, возможно, что неограпиченность операторов Lz вызывается неудачной нормировкой уравнений или неудачным выбором норм в нространствах функций и. Отсутствие равномерной ограниченности операторов означает неограниченное возрастание = supZ при /i -) 0. Не исключена возможность, что величи- на растет очень медленно и соответствуюгцее возрастание влияния вычислительной погрешности при стремлении шага к нулю окажется допустимым. Несмотря на высказанные соображения, изучение замыканий вычислительных алгоритмов приносит большую пользу. При прямом ходе прогонки получаются соотношения Уп - СпУп+1 = fn- (5) Попытаемся попять, во что переходят эти соотношения при h 0. Возьмем простейший случай р = 0. Тогда Со = О, Ci = 1/2, С2 = 2/3,... и, как нетрудно установить методом индукции, С = 1 - 1/(п + 1). Пусть фиксирована какая-то точка х = nh. Тогда левая часть (5), соответству-. югцая этой точке, равна При подстановке вместо величин уп значений гладкой функции y{nh) предел Jшвoй части равен нулю и нет смысла рассматривать подобное замыкание алгоритма. Чтобы получаемое замыкание было осмысленным, нужно подобрать такой множитель А (Л), чтобы предел 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 [144] 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |