|
| |
|
Слаботочка Книги введем вместо С новую переменную a,i = (1 - С ) г. Напомним, что прогоночные соотношения имеют вид Сп+1 = 7Г~,-U2-ТГ = Cn+lifn - fn+lh). (7) 2 +Pn+l/i - Сп Умножим соотношение (5) на -h~ и положим С = 1-о /г, tfn = -Р?Л. Тогда (5) перепишется в виде Уп + \ - Уп г/ /о\ ---апУп+1 = Рп- (о) Подставив выражения Сп и ipn через а,г и /3 в (7), получим равенства отсюда 1 -а +]/г = - /? +1/г = (1 - an+ih)iPnh + ./n+i/i); - <n+Pn+ih Ai+i = Pn + ifn+i - an+iPn)h - a +i/ +i/i2. (10) Соотношение (9) можно преобразовать к виду ап+1 - an 2 2pn+iQn - n - (p+i - Pn+ial)h -7-=Pn+i-an-h-7--. , -Г5-, (11) a соотношение (10) - к виду /г ~ п+х/Зп - / +ia. +i/i. (12) Если предположить, что коэффициенты а и /3 при фиксированном nh = X и Л, -) О стремятся к некоторым пределам а{х) и /3(ж), то при подстановке в (8) вместо уп значений y{nh) в пределе получится дифференциальное уравнение у -а{х)у = Р{х). Соотношения (11), (12) показывают, что величины a , Д удовлетворяют уравнениям, напоминающим метод Эйлера численнгаю интегрирования дифференциальных уравнений a=p(ж)-a (13) Р = fix) - ар. (14) Доказательство того факта, что значения а , Рп при nh = х фиксированном, h -)-.0, стремятся к значениям решений этих дифференциальных Уравнений, затрудняется следующим обстоятельством. Согласно определению о = (1 - Co)/h = 1/Л Ро = ipo/h = -a/h. (15) Пользуясь оценками близости \W,-W\nh)\4,Mh при OnhX, (17) можно получить оценку (И/1), +0{h) Функция a{x) = {Wy\x/W\x) удовлетворяет дифференциальному уравнению (13), поскольку Согласно определению W{x) при малых х имеем W(x) ~ х, (W)U ~ 1 и таким образом, а{х) = (PF)3:/PF(a;) х~, как и предполагалось. Таким образом, в окрестности точки х = О начальные условия для численного интегрирования но формулам (11). (12) имеют не совсем обычный характер и развитые нами методы оценки близости решений сеточных и дифференциальных задач в рассматриваейюм случае неприменимы. Глядя на соотношения (15), можно было бы предположить, что функция а{х) является решением (13), ведуш,им себя вблизи нуля, как х~, а /?(а:) - решением (14). ведущим себя вблизи пуля, как -ах~. Обоснуем это предположение. Коэс}:)фициенты С , а следовательпо, и о no.iy-чаются из рекуррентных соотношений (7), не зависящих ни от правой части дифференциального уравнения, ни от граничного условия в точке Л; нача.ль-ное усювие рекурсии Со = О также от них пе зависит. Расслютрим краевую задачу у (х) - р{х)у{л:) = О, (0) = О, у(Х) = 1 и соответствующую сеточную задачу l-iVi) = 0, 2/0 = О, (/л- = 1. Решения этих задач можно записать в виде у{х) = WHx)/W\X), ?/ = WJW], (определение W{x) и см. в § 2). Поскольку для этой краевой задачи ро = О и все / = О, то Рп = О и соотношение (8) имеет вид Уп+i - Уп ---0:пУп+1 = 0. Подставляя сюда / = И,5/ТТд получим ЧГ, - W. Уп-i - 2г)п + гуп+1 РпУп = fn, гпп< N, Ум = Ь; а при N < т М - совокупность соотношений Уп-СпУп+г ОпМ-ш, п п Уп = i>n, М - 7П < п N, где -точное решение сеточной задачи. Положим z = mh. Тогда замыкание алгоритма (4) будет выглядеть следуюпщм образом: Lzy = fz{x), Функция q(x) обращается в бесконечность в точках, где W [х] О, в частности при х- = 0. В окрестности каждой такой точки у имеем iwYU ~ (и-)1. Ф о, w4x) - ((И-) )(х- - у) и, таким образом, а{х) -(x-y)-. (19) Для точек этой окрестности можно написать цепочки соотношений &L.zill = (lF)(,.-i)/,(l +О(/0), и- = 1Г((. + 1)д)+о(/.) = и-((.-ь1)/.) { + о[:)) = .l.((n.l).)(l + 0(4)) и, таким образом, Отсюда видно, что относительная погрешность равенства а и а{{п + l)h) является величиной порядка 0(h) вплоть до окрестности порядка h точек, где а{х} ~ оо. Аналогичным образом исследуется поведение функции /б(а;)- Выпишем теперь соотношения (3) и соответствующие замыкания алгоритма. Возьмем М = 27V - 1 и при г?? = 1,..., iV за (3) примем совокупность соотношений Уп-СпУп+у 0<n<m, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 [145] 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |