|
| |
|
Слаботочка Книги где для О 4 Z < 1 и для 1 2 L,y = Ых) = ( у - о;(х)у при О < X < Z, - < у ~р{х)у при z х <\, ( Pix < fix при х = 1, при о < X < Z, при z 4 X < 1, при X = 1 у - а{х)у при О < X < 2 ~ Z, у при 2 - z 4 X 4 1, Р(х) при о <х <2~ Z, 4>{x) при 2 - < .т 1; здесь ф{х-точное решение дифференциальной задахи (равенство Lzy\x=o = а опущено). Рассмотрим примеры поведения функции а{х) и /3(ж). Пусть р(х) > 0; тогда, согласно уравнению с/ = р{х) - а, а < О при а > pi = /тахр(ж) а > О при о < Р2 = /min pfrc). [0,Х] Соответствующее поле интегральных кривых изображено на рис. 9.4.1. Поэтому решение а{х), удовлетворяющее условию а{х) ~ х~ при х -) О, монотонно убывает по крайней мере до тех пор, пока не попадет в область Р2 < а < Pi, где оно и останется. Уравнение (14) линейно относительно Р(х). Так как коэффициент а{х) конечен при ж О, то решение этого уравнения остается ограниченным при всех ж ф 0. Таким образом, были бы все основания признать замыкание алгоритма решения рассматриваемой задачи регулярным, если бы не неограниченность коэффициентов а{х) и р{х) при ж -) 0. В рассматриваемом случае значения ао и /Зо в точке п = О являются величинами порядка h~] далее с ростом п они должны иметь тенденцию к убыванию из-за аналогичной тенденции решений дифференциальных уравнений. Мы уже свыклись с тем, что во многих случаях влияние вычислительной Г Г Г Г Г Рис. 9.4.1 погрешности порядка 2~/г~ является неизбежным и допустимым и возможно, что такая нерегулярность алгоритма не приведет к недопустимо большому влиянию вычислительной погрешности. Обратимся к случаю, когда не всюду р{х) > 0. Тогда может оказаться, что в некоторой внутренней точке отрезка W{y) = О и, следовательно, а{у) = ос. В этом случае замыкание алгоритма вычиагений следует признать нерегулярным; однако и здесь не следует спешить окончательно отказываться от применения метода прогонки. Если оказалось, что во всех узлах сетки W{nh)h~ 3> 1, то, согласно (16)-(18), имеем шах а = 0(/i-2). (20) Такого рода нерегулярность алгоритма также не всегда следует считать катастрофической. Функция И (ж) - гладкая с производной, отличной от нуля в точках у, где W{y) = 0. Поэтому часто значение mmWinh) п>0 будет оказываться величиной порядка h и соотношение (20) будет выполняться. Таким образом, следует ожидать, что и в случае р{х) О вычисления по методу прогонки в большинстве случаев будут устойчивыми к различного рода возмугцениям. Оказалось, что замыкание алгоритма прогонки, по существу, регулярно, если 1-(3;) ф О при х Е (О, X]. Условие W{xo) ф О равносильно условию, что краевая задача у{0) = а, у{хо)Ь, y -p{x)y = f{x) (21) разрешима на [О, хо] при любых а, b и f{x). Таким образом, условие регулярности замыкания алгоритма прогонки можно сформулировать в следующем виде. Замыкание метода прогонки регулярно, если для любого отрезка [О, 2;о] при О < хо X краевая задача (21) разрешима. Получим этот вывод еще одним путем. Обратимся к формулам обратного хода прогонки. Коэффициенты Cj и ipj при j < п зависят только от а и значений pj и fj при j < п, т. е. в точках jh Е [О, nh]. Следовательно, после отыскания значения уп вычисления происходят так же, как в случае краевой задачи для уравнения у - р{х)у = f [х) на отрезке [О, nh] при заданных 7/(0) = а и y{nh) = уп. Если эта краевая задача неразрешима при любых правых частях f{x), то возникают сомнения в хороших свойствах соответствующей сеточной задачи. Поэтому в случае, когда при каком-то Xq € (О, X] краевая задача (21) разрешима не при любых правых частях, необходим более детальный анализ метода. Отметим, что регулярность замыкания еще не обеспечивает малости суммарной вычислительной погрешности в силу следующих обстоятельств. Суммарная погрешность определяется погрешностями в ходе вычислений и множителями пропорциональности, с которыми эти погрешности входят в сумарную погрешность. Регулярность замыкания, как правило, обеспечивает лишь малость погрешностей округления в ходе § 5. Обсуждение постановок краевых задач для линейных систем первого порядка Рассмотрим краевую задачу у- Л(ж)у = f(x), Бу(0)=Ь, Dy{X)=d: (1) здесь у, f, b, d - векторы размерностей соответственно I, I - г, г, а Л, В, D - матрицы размерностей 1x1, {l-~r)xl, rxl. Всюду в дальнейшем предполагается, что ранг матрицы В равен I - г, а рапг матрицы D равен г. Прежде чем отыскивать практически пригодные методы решения задачи (1), обсудим вопрос о чувствительности решений краевых задач к разного рода возмущениям. В качестве модели возьмем краевую задачу у - Лу = О, Л = const, Ву(0) = Ь, Dy{X) = d. (2) Рассмотрим случай, когда все собственные значения матрицы Л различны; в общем случае ход рассуждений изменяется несуществешю. Пусть Aj = aj + ifjj - собственные значения матрицы Л, упорядоченные в порядке возрастания Oj, а - соответствующие собственные векторы, причем Ijejll = 1. Общее решение системы у- Лу = О запишется в виде У{х) = сеехр{А,а;}. (3) Собственные значения \j разделим на три группы, присваивая собственным значениям каждой группы соответствующий верхний индекс. Собственные значения Aj, для которых величина ехр{о;Х} очень большая, обозначаем как AJ , если aj > О, и как \J, если aj<0. Остальные собственные значения, т.е. те, для которых величина exp{o;j(X} не очень велика, обозначаем как А. Соответственно снабдим верхнилш индексами собственные векторы ej; суммирование по индексам j, соответствующим + о - этим группам, будем обозначать , , . Пусть Z+, Р, число собственных значений в соответствующих группах. Форма записи решения (3) ставит в неодинаковое положение концы отрезка интегрирования: все функции exp{Aja;} в точке х = 0 имеют порядок 1, в то время как вычислений. Чтобы множители пропорциональности не были большими, нужна слабая чувствительность решения уравнений замыкания к возму-ш,ениям коэффициентов. Однако и этого, вообш,е говоря, недостаточно. На примере уравнения у = My при М < О мы видели, что зачастую решение диффереициа.дьной задачи слабо чувствительно к таким возмущениям, в то время как решение сеточной задачи сильно чувствительно. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 [146] 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |