Слаботочка Книги

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 [147] 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208

в точке X = X одни из них очень большие, другие очень малые. Удобнее другая форма записи общего решения:

у() = Е77(V-} + Есхр{л .т} + Е44- )}-

Выпишем систему уравнений Ву{\)) = Ь. Dy{X) = d, из которой следует определить постоянные Cj, соответствующие отыскиваедюму решению:

ву{о) = Е 77 + Е + Е 44рi-K} = b

Dy{X) = J2 fJJ exp {ATX} + E°c e exp {AX} + E = d.

Систему уравнений (4) можно записать в форме

Gc=g;

здесь

с = (сГ,..., с+), g = (Ьь ..., d ..., d,f, матрица G имеет клеточный вид:

GI Gf \ 1~г \ G4 Gt ) г ,

Г f /+

в котором клетки записываются следующим образом: Gi=[{BeJ)gl ljr, lql-r, G? = [(Бе),], Г <jl-+f, lql~r, Gt = [{Bepg exp{-A+X}], Г +f <jl, lql-r, G2 = {(Dej) explATX}], ljT, lqr, G§ = [(e ),exp{A X}], r<jZ- + Z+, 1 g r, G+ = [(Det)], r+fji lqr.

Предположим, что A = detG7i0, и представим решение системы (4) в виде с = G~g. Согласно известным формулам элементы обратной матрицы имеют вид

O-(fci). (5)

А = det близок к определителю

An = det G, G =

/ GJ G? G+ > < G2 G2 G

( G~, Gl 0 \ < 0 G G У

Рассмотрим отдельно случаи:

а) определитель Ао не мал;

б) определитель Ао мал, в частности равен нулю.

Поскольку среди элементов матрицы G нет больших, то, вследствие формулы (5), в случае а) элементы матрицы G~ обычно не очень большие.

Предположим, что правые части граничных условий b и d содержат некоторые погрешрюсти 6Ъ и 8d. Пусть (5g = (йЪ, (5d), тогда погрешность вектора с равна G~(5g. Если элементы матрицы G~ не очень велики, то влияние погрешности (5g на коэффициенты Cj будет не очень большим. Решение задачи является линейной комбинацией с коэффициентами Cj слагаемых

eJ exp{Aja;}, ехр{Аз;}, et exp{At(a; - X)].

Поэтому погрешность приближенного решения, являюш,аяся следствием погрешностей ь и (3d, также будет приемлемой.

Заметим, что наши высказывания носят довольно неопределенный характер: малый , очень малый , небольшой , очень большой ; при анализе конкретной задачи исследователь должен сам решать, насколько приемлем для него тот или иной порядок рассматриваемых величин. В частности, если решается система большого порядка, то при умеренных значениях коэффициентов системы и не очень малом определителе До возможно, что миноры, состоящие из сумм произведений большого числа элементов, окажутся недопустимо большими .

Если определитель Ао очень мал или равен нулю, то, вследствие равенства

det G det G- = 1,

среди элементов матрицы G~ встретятся большие. Тогда ма.лые возмущения правых частей граничных условий могут приводить к большим возмущениям коэффициентов Cj, а следовательно, и решения задачи.

где Gj; -миноры матрицы G. При сформулированных ранее предположениях величины ехр{-А+Х}, exp{XjX} ничтожно малы, поэтому ничтожно малы элементы матриц и G2 и определитель

§5. Обсуждение постановок краевых задач 447

Зная элементы матрицы и собственные значения матрицы Л, из

полученных выше соотношений можно получить довольно точную информацию о возмущении решения дифференщтльной задачи. Однако получение этой информации само по себе требует большого объема вычислений; перенос этих построений на случай переменной матрицы А{х) потребует еще большего объема вычислений. Попытаемся поэтому получить критерии устойчивости решения к возмущениям 6Ъ и 6d качественного характера, требующие меньшей информации о задаче, хотя, может быть, и несколько менее надежные. Таким критерием могут служить соотношения между числами 1~, 1, 1, I - г и г. Среди элементов первых I - г строк матрицы ненулевые элементы могут находиться в первых + I столбцах, соответствующих матрицам G, G\. Если 1 > г, то 1 +1 <1 - г, и тогда все миноры порядка {l - r)x{l~r), лежащие в первых 1 - г строках, обращаются в нуль. Раскрывая определитель Ао по первым I - г строкам, получаем Ао = 0. Точно так же, если 1~ > 1 - г, то все миноры порядка г X г, лежащие в последних г строках, обращаются в нуль, поэтому Ао = 0. Если 1 г, а 1~ I - г, то определитель Ао окажется линейной комбинацией произведений элементов матриц В и D и координат собственных векторов ej, причем коэффициентами при этих произведениях будут произведения чисел ехр{ЛХ}, не очень больших и не очень маленьких но модулю. Можно принять гипотезу, что этот определитель оказывается малым числом довольно редко. Тогда решение задачи (2) будет мало чувствительно к возмущениям 6Ъ и 6d правых частей граничных условий.

Мы можем сформулировать полученные выводы в качестве следующего предложения. Если V> г или 1~ > 1 - г, то решение дифференциальной задачи сильно чувст.вит.ельно к возмущениям правых частей граничных условий: если г, а 1~ - т,о, как правило, решение задачи (2) будет, мало чувствительно к изменениям правых частей граничных условий.

Первую часть этого утверждения можно переформулировать еще в такой форме: для .м.а.лой чувст,вителгмости задачи к возмущениям граничных условий необходи.мо, чтобы число независимых частных решений ejexp{Aja;}, сильно растущих на [О, X] с ростом х, не превосходило числа граничных условий на правом конце, а число частных решений ехр{Л,а;}, сильно убывающих на [О, X] с ростом х, не превосходило числа граничных условий на лево.м конце.

Эта формулировка при определенных уточнениях может быть перенесена и на случай задачи (1) с переменной матрицей А{х). Строгая переформулировка этого утверждения будет довольно громоздкой; однако если элементы матрицы А{х) относительно плавно меняются на [О, Х\, то при первоначальном исследовании устойчивости задачи к возмущениям граничных условий зачастую можно ограничиться подсчетом числа собственных значений матрицы А{х) с большим положительным и большим отрицательным значениями величины XReAj(a;).

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 [147] 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208