|
| |
|
Слаботочка Книги равны ±1. Величина ехр(-30) очень малая, а ехр(ЗО) - очень большая, 1~ = 1, Z° = О, Р = \, г = О и Z = 1 > / = О, Поэтому малые возмущения граничного условия должны приводить к очень большим изменениям решения. В данном случае проводившиеся нами в этом параграфе построения не имеют особого смысла, поскольку и без них ясно, что, вследствие сильного роста решений исходного линейного уравнения, погрешность решения растет очень быстро. Пусть для той же системы рассматривается задача с краевыми условиями bi2/i(0) + 22/2(0) = Ь, di2/i(30) -Ь Й22/2(30) = й; собственные векторы, соответствующие собственным значениям Aj~ = - 1 и = 1, равны соответственно Краевую задачу называют хорошю обусловленной (хорошо поставленной), если малые возмущения коэффициентов и правых частей уравнения ц граничных условий приводят к столь же малым по порядку изьюнениям решения задачи. Более аккуратное определение хорошей обусловлепности можно дать следующим образом. Наряду с краевой задачей (1) рассмотрим краевые задачи у - (А(х) + 5А(х))у = Цх) + 8Цх), (В + ёВ)у{0) = b + йь, {D f ёВ)у{Х) = d + Йс1 с не очень большой мерой возмущения в = шах (М(ж) + ЦадЦ) - ЦёВЦ + \\ёП\\ + \\5Ъ\\ + ЦМЦ. Если для всех решений таких краевых задач выполняются неравенства max у(:г)-у(.г-)КМе (6) с не очень большим значением постоянной М, то исходную задачу называют хорошо обусловленной, в противном случае задачу называют плохо обусловленной. Минимальное значение М(ео), при котором неравенство (6) выполняется при всех е < eq (ео > О фиксировано), иногда называют мерой обусловленности данной задачи (относительно возмущений с нормой, не большей ео). Обусловленность задачи характеризует устойчивость решения к возмущениям исходных данных, например к неточности задания коэффициентов уравнения. Поскольку погрешности от округления при вычислениях эквивалентны возмущениям коэффициентов исходного уравнения, то мера обусловленности характеризует и устойшвость численного решения к возможным округлениям при численном решении. Если известна ориентировочная оценка е возмущения коэффициентов задачи и погрешность порядка М(е)е допустима, то имеет смысл непосредственное численное решение задачи. Рассмотрим в качестве примера задачу Коши для системы yj = У2, у2 = IJi при ?7i(0) = 1, 2/2(0) = 1 на отрезке [О, 30]. Собственные значения матрицы (1 -1) и (1, 1) , 1 - г, I - I - г. Вообще говоря, следует ожидать, что задача будет устойчива к возмущениям 6Ь и 6d. Решение отыскивается в виде 1 ехр{-ж} + 4 1 j ехр{ж - 30}. Уравнения (4) имеют вид ih - boVi + (bi + /)2)c.t exp{-30} = /), (da - (/2)сГ exp{-30} + (di + d2)c+ = d. Отсюда bjd-i + do) - d{bi + bo) exp{-30} + d(bi -b2)-fc(4 -d2)exp{-30} C2 - Д Д = (bi - b2)(di + d2) - (di - d2)(bi + Ьг) exp{-60} близко к До = (bi - b2)(di +d2). Если коэффициенты bi и di небольшие, a До не мало, то коэффициенты и мало изменяются при малых изменениях 6Ь и 6d. Если Д = О, то система (7) имеет ненулевое решение cj , при b = d = 0. В этом случае говорят, что задача .лежит на спектре , т. е. имеется в виду, что однородная задача имеет ненулевое решение и бессмысленно говорить об устойчивости решения к возмущениям граничных условий. При До = О задача плохо обусловлена, поскольку Д До. Задача 1. Доказать, что решение хорошо обусловленной краевой задачи единственно. § 6. Алгоритмы решения краевых задач для систем уравнений первого порядка в дальнейшем, в § 6-8, предполагаеася, что рассматриваемая краевая задача хорошо обусловлена. Простейшим по форме методом решения краевой задачи (5.1) является метод стрельбы. Рассмотрим систему уравнений Ву{0) = ь. (1) Поскольку по предположению ранг матрицы В равен 1 - г, то обш,ее решение системы (1) записывается в виде yo + Ew; Здесь Уо - произвольное решение неоднородной системы By = b, а У1,..., Уг - произвольная система г линейно независимых решений системы .By - о. Пусть у1,...,уг, Уо-какой-то набор таких векторов. Численным интегрированием найдем частное решение неоднородной системы Уо = Л{х)Уо + Пх) (2) при начальном условии уо(0) = уо и решения однородной системы yj=Mx)yj, i = l,...,r, (3) при начальных условиях yj(0) = у. Пусть у (ж) удовлетворяет (2) и левому граничному условию (1). Вектор у(0) является решением (1), и поэтому его можно записать в виде г у(о) =уо + вектор-функция Ф) = Уо{х) + Cjy.j{x) удовлетворяет уравнению (2) и совпадает с у{х) при х = 0. Следовательно, у(х) = уо{х) + J2 (зУЛ)- (4) 3 = 1 Всякая функция вида (4) удовлетворяет соотношениям (1) и (2). Таким образом, многообразие всех решений (2), удовлетворяющих левому граничному условию (1), задается равенством (4). Чтобы найти искомое решение, надо выделить из этого многообразия решение, удовлетворяющее правому граничному условию. Определим коэффициенты Cj из системы г уравнений с г неизвестными / г \ D уо(Х)+с,уДХ) =d. (5) \ 3=1 / В предположении однозначной разрешимости задачи (5.1) определитель этой системы отличен от нуля. Действительно, предположив противное, мы получили бы, что однородная краевая задача (f = О, b = О, d = О) имеет ненулевое решение у{х) = СзУу{х). Если ci,..., Сг - решение системы (5), то вектор-функция У{х) =yo(a:)-bCjyj(a;) удовлетворяет уравнению и всем граничным условиям и, следовательно, является решением искомой задачи. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 [148] 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |