|
| |
|
Слаботочка Книги При необходимости экономить память ЭВМ следует найти у(0)=уо(0) +J]c,y,(0) у(Х)=уо(Х) + 5;]с,у,(Х) и затем решить численно задачу Коши вперед или назад. Если среди решений однородной системы у = А{х)у есть быстро расту ш,ие с ростом X, то столь же быстро может возрастать вычислительная погрешность в решениях уо(а;),..., Уг(а;). В этом случае алгоритм метода стрельбы окажется непригодным для практического использования. По-другому практическую непригодность метода стрельбы в этом случае можно объяснить следующим образом. Пусть метод стрельбы применяется при А = const. Обозначим через е- и Aj собственные векторы и соответствующие собственные значения матрицы А, причем пусть ReAi КеАг 1 < ReA. Предположим, что fc=l тогда YjiX) = ajkk exp {AfcX}. (6) Если ajk 0 и expfReAX} 3> exp (Re A/ iX}, то yj(X) -ajeexplAiX}. Таким образом, все столбцы матрицы системы (5) оказываются приблизительно пропорциональными вектору De/, поэтому решение этой системы ci,..., с, будет найдено с большой вычислительной погрешностью. Рассматриваемую задачу можно трактовать как задачу выделения из многообразия Уо(ж) + J]cjyj(a;) (7) вектора, удовлетворяющего правому граничному условию Dy{X) = d. При каждом фиксированном а; множество концов векторов вида (4) образует г-мерную плоскость в /-мерном пространстве; плоскость задается концом вектора уо(а;), лежаищм в этой плоскости, и векторами Уг (ж),..., Уг(а;), лежащими в ней. Если бы эти векторы задавались точно, то было бы несущественно, какими векторами задавать плоскость. у(а;) =ge(x) -Ь J]cjgj(a;); здесь gQ(а;)-решение неоднородной системы (2); gj(a;), j = 1,...,г,- решения однородной системы (3). Путем последовательной ортогонализации и нормировки векторов g{xs+i), j = l,...,r, получают систему ортонормированных векторов g,j{xs+i), j = 1,.. , г. Полагают g+i(a:,+i) = glixs+i) - J2 (go(.+i), gf(.+i))gr42.-.+i), т.е. вычитают из вектора gQ(a;s+i) его проекцию на плоскость, натянутую на векторы g,j{xs+i), j = 1,..., г. Далее опять на отрезке [j+i, Xs+2] ищут go (a;) и Sjix), j = l,...,r, как решения систем (2) и (3) соответственно. После получения такого представления решения в точке X находят решение задачи на отрезке [xm-i, Хт], воспользовавшись гранич- Однако вследствие погрешностей в значениях этих векторов эта плоскость будет несколько смещена и повернута. Предположим, что исходная краевая задача хорошо поставлена и соответственно норма вектора у(.г) в каждой точке х € [О, X] невелика. В рассматриваемом случае при больших значениях ReA/X вектор уо(ж) имеет большую норму, а векторы yj{x) примерно пропорциона-пьны. Небольшие возмущения уо(ж) и векторов yj{x) приведут к существенному изменению положения плоскости в области относителыю небольших значений у, т.е. там, где находятся значения точного решения. Поэтому при таком способе задания многообразия (4) существенно теряется информация о решении. Чтобы положение плоскости в области небольших значений норм векторов у, где находится решение, было устойчиво к погрешностям такого способа ее задания, представляется целесообразным задавать плоскость точкой, являющейся проекцией на нее начала координат, или точкой, близкой к пей, и некоторым множеством векторов, лежащих в этой плоскости и образующих ортогональный репер или близкий к ааковому. Существо наиболее распространенных методов прогонки решения задачи (5.1) состоит в непрерывном или дискретном (в отдельных точках отрезка) переходе к заданию мхюгообразия (4) при помощи точки проекции начала координат на эту плоскость и ортогона.льпого репера, лежащего в этой плоскости. В одном из вариантов метода прогонки (метод Годунова) поступают следующим образом. Отрезок интегрирования разбивается па части точками О = Xq < xi < < х . = X. Пусть на отрезке [xg, Xg+i] решение задачи отыскивалось в виде линейной комбинации ным условием в точке X = .т, . Далее, пользуясь формулами перехода между совокупностями векторов (ge(x-,+i),..., g,(x-,+i)) и (ё+Чад),---, gr4-.s + l)), последовательно находят решение на отрезках [ж, 2, Жт-i], , [жо, rci]. Точки Ж1,..., х -1 выбираются из условия, чтобы система векторов gi(.zr;,. , i), ..., g{xs+i) была близка ортонормированной, а вектор g(2;s )-i) не образовывал слишком малый угол с подпространством, натянутым на этот базис. Поскольку векторы gi(.T ),..., g*(2:.5) образуют ортонормированную систему, а вектор go(.s) ортогонален к ним. сформулированные условия выполнены при достаточно малой величине шах (xsi - Xg). s Заметим, что в отличие от подробно рассмотренного в § 3.4 метода прогонки для дифференциального уравнения второго порядка методы прогонки, основанные на идее ортогонализации, при достаточно малой величине шах {xs - хА оказываются слабо чувствительными к влиянию вычислительной погрешности для любых хорошо определенных краевых задач. Непрерывный аналог описанного выше метода ортогональной прогонки Годунова заключается в следующем: находится матрица Z{0) размерности I X {I - г), столбцы которой образуют ортонорьшрованную систему решений системы уравнений Bz = О, и вектор и(0) ортогональный к этим векторам, удовлетворяющий системе уравнений Ви{0) = Ъ. При начальных условиях Z{0),u{0) решается задача Коши для системы уравнений Z =AZ~ Z{ZZyR, и = (Е- Z{ZZ)~ Z (Ли + f - Z{ZZ)-ZAu; верхняя треугольная матрица R определяется равенством R + R = Z{A + A)Z. Совокупность этих вычислений называют прямым ходом метода прогонки. В этом методе вектор и{х) при каждом х миниьшзирует у(2:) среди значений этой нормы у решений системы у = Ау + f, удовлетворяющих левому граничному условию. Так называемый обратный ход лютода прогонки заключается в следующем. Определяется вектор v(l) размерности Z -г -решение системы уравнений Z)Z(l)v(l) + u(l)j = d и при заданном v(l) решается в направлении убывания х задача Коши для системы уравнений v = iiv -f ZiA + Л)и + Zf. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 [149] 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |