Слаботочка Книги

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [15] 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208

АЬ = fixi,), А\ = fixi,; хЬ,),

- fixi,; XI2; ж!з),... , AU = fixlu х,...; ж, ).

здесь все Xi различные, s = mi-\-----l-m. . Такой многочлен называют интерполяционным многочленом с кратными узлами, а числа т\,..., ?п - кратностями узлов х\,..., х-

Интерполяционный многочлен gs{x) определяется единственным образом. В самом деле, предположим, что существуют два многошена степени s~l, удовлетворяющих условиям (1). Тогда их разность Qs{x) удовлетворяет соотношениям

Qs{xi) = = Qr~Hx) = о, ..., QM = = Qi -Hxn) = 0;

точки xi,... ,Хп являются нулями многочлена Qg {х) кратности mi...., rn соответствехшо. Мы получили, что многочлен Qsix) ф О степени s - \ имеет S нулей. Следовательно, Qs{x) = 0.

Далее будем предполагать, что функция /(ж) непрерывно дифференцируема S раз. Существование интерполяционного многочлена 5*(ж), удовлетворяющего условиям (1), покажем, получив для него явное выражение.

Зададимся последовательностью совокупностей точек .г--, О < £ < £о, г = 1,...,п, J = l,...,mj, удовлетворяюхцих следующим условиям: нри О < £ < £о все точки x\j различные, х\ Х{ нри е 0. В частности,

можно положить x\j = Xi + {j - \)£.

Построим интерполяционный многочлен (ж) степени s - 1, совпадающий с /(ж) в точках ж?у. Таблица разделенных разностей, соответствующих этому набору узлов, имеет вид

/hi)

./из) ./Кг,42;1з)..

/(ж2;ж1з) : .

. . /Vii;a:f2;---;<mJ- (2)

f(4i)

Выпишем интерполяционную формулу Ньютона с разделенными разностями:

дЦх) А1 + А\{х- xfi) + А(ж - xli){x - жf2) + + А1 -{х - хп)... (ж - ж i),

Выражая разделенные разности через производные, имеем

да.,;, . . . , x, J

Переходя к пределу при £ -> О, получаем

iim/(4;...;4J = . (З)

Таким образом, из наших рассуждений следует, что все разделенные разности в таблице (2) вида /(х:...; xJ при £ -> О имеют пределы, которью естественно обозначать /( х;...; ж,;). Из (3) следует, что

rn-i+x раз

р+1 раз

Задача 1. Индукцией по порядку разности показать, что все разделенные разности, входящие в таблицу (2), имеют конечные пределы.

Если все элементы таблицы (2) имеют пределы, то на любом отрезке многочлены (ж) при £ - О стремятся к некоторому многочлену

5,(ж) = Ao + Ai{x- xi) + А2{х - xif +

+ As-i{x - Ж1) 1 ... (ж - (ж - ж )- -1 = (5)

=/(xi)-f/(xi; Ж1)(ж-Ж1)+/(ж1; xi; xi){x - xyf + ;

Ai = lim

Многочлен 5s (ж) записывается в виде

9si) = E - + 0((ж - жг) ).

Отсюда вытекает, что он удовлетворяет условиям, заданным в точке xj. Вследствие единственности интерполяционного многочлена многочлен д{х) не изменится при переобозначении xj = Xj, Xj = х\. Поэтому предельный многочлен будет удовлетворять заданным условиям в любой точке Xj. Следовательно, этот многочлен является искомым.

Задача 2. Доказать равенство

f{x)-gs{x)=--Usix), ujsix) = Y[i - Xir\ У1СУ2, (6)

§ 7. Уравнения в конечных разностях 51

где У1 = min {ж, xi,..., ж } , у2 = max {ж, xi,..., ж }. Согласно (5.1) справедливо равенство

fix) - 5s(ж) = fix; xli;...; x ,JujI{x), где ujix) = ujsix). Переходя к пределу при е -> О, получим

fix) - дЛх) = fix; хй...; ж )ш (ж). Сравнивая это равенство с (6), имеем

fix; х,;...;хп)=-.

Это соотношение остается в силе при предельном переходе х Xj, j - любое. Из этих соотношений следует, что формула (5.4)

f(x,;...;xr,+i)=-

(переписанная в других обозначениях) справедлива и в случае, когда не все XI,..., ждг+] - различные.

Мы доказали существование интерполяционного многочлена, удовлетворяющего условиям (1). Задачу интерполяции можно было бы поставить и таким образом.

Задана таблица чисел ciij, г = 1,..., п, j = l,...,mi. Требуется построить многочлен gsix) степени s - I, удовлетворяющий условиям

9i~4xi) = (iij, i = l,...,n, j = l,...,mi.

Эта задача равносильна исходной, поскольку всегда можно указать гладкую функцию fix) такую, что

/(-1)(ж,) = aij.

§ 7. Уравнения в конечных разностях

Конечно-разностными уравнениями называют уравнения относительно функций дискретного неременного. Такие уравнения, в частности, возникают при аппроксимации обыкновенных и многомерных дифференциальных уравнений.

Существует глубокая аналогия ме}кду непрерывными и дискретными случаями. В частности, справедливы разностные аналоги формул Грина; ecjm в некоторой задаче применим метод Фурье, то в отношении соответствующей разностной задачи применим дискретный вариант метода Фурье. Практически каждому интегральному тождеству в теории дифференциальных уравнений

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [15] 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208