Слаботочка Книги

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 [150] 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208

Само решение задачи у(х) вычисляется по формуле

у{х} = и{х) + г{х)лг(х). (8)

Возможен и такой вариант действий. Аналогично найденным в процессе прямого хода метода прогонки с1)упкциям Z(x) и и{х), которые мы обозначим как .лев(ж) и илев(ж), находятся функции Znp{x) и Unp(x), соответствующ,ие граничным условиям на правом конце отрезка интегрирования.

Значения решения в каждой точке х находятся из системы уравнений относительно неизвестных значений у(х), лглев{х) и vnp(2;):

у{х) = илев(ж) + .лев(ж)Упев(ж), у(2;) = Unp(x-) + Znp{x)vnpix). (9)

Здесь Улев(ж) и Vnp(ж) - векторы-столбцы размерности 1-г и г соответственно.

Часто удобнее применить следующ,ий метод ортогональной прогонки Абрамова. Краевые условия преобразуются к виду

Яу(0) = Ь, Dy{l)=d,

такому, чтобы строки матриц В и Z) образовывали ортонормированные системы векторов, т. е. выполнялись равенства ВВ = Е, DD = Е; здесь Е - единичные матрицы размерностей г х г и {I - г) х {I - г) соответственно.

На отрезке [0,1] решаются задачи Коши для систеьш! уравнений Z + ZA{E - Z{ZZ)-Z) = О,

(10)

и - ZAZ{ZZ)u -Zf = 0

при начальных условиях Z{0) = В, и(0) = b в направлении возрастания а; и при начальных условиях Z{1) = D, u(l) = d в направлении убывания X. Полученные решения обозначаются, соответственно,

лев(ж). Плев (ж) и Z p{x), Unp(x).

Решение задачи в каждой точке находится из системы уравнений

лев(ж) у{х) = илев(ж), .Hp(a;) у{х) = Unp(x). (И)

В этом методе строки матрицы Z образуют наиболее ьюдленно измеяя-юш;ийся базис ортогонального дополнения к этому пространству.

Упомянем ряд фактов, свидетельствуюш,их об определенных хороших свойствах указанных методов.

Для этих методов выполняются, соответственно, равенства

Z{x)Z{x) = Е или Z(x)Z{x) = Е, где -единичная матрица. (12)

Для первого метода выполнены неравенства и(ж) у(ж), v у(а;)-и(ж); здесь - евклидова норма вектора. Для второго метода вьшолнено неравенство и(а;) у(ж).

§ 7. Нелинейные краевые задачи

Существует большое сходство между методами решегшя нелинейных краевых задач и нелинейных алгебраических задач. В частности, так же, как и в последнем случае, мы проведем обсуждение различных методов, не приходя в конце концов к конкретной рекомендации по решению произвольных нелинейных краевых задач. По существу, всякий раз решение нелинейной краевой задачи сводится к решению некоторой нелинейной системы уравнений. Различные лютоды решения нелинейных краевых задач отличаются выбором параметров этих вспоьюгательных задач и, естественно, методом решения этих задач.

Рассмотрим простейший пример - нелинейную краевую задачу: найти решение уравнения

х - fit, х) = 0 при * G (О, Г), х-(0) - а = О, х{Т) -Ь = 0.

Предположим, что известно некоторое приближение к решению х (4); в окрестности этого приближения справедливо разложение

/(*, X) f{t, Xrit)) + g (f., Xn{t)) {X - Xnit)),

поэтому представляется целесообразным искать следующее приближение к решению Xn+i{t) как решение краевой задачи

<+i - {fit, x-.(t)) + (t, Xr,{t)) {Xn+l{t) - Xnit))) = 0,

Xn+i(0) - a = 0, Xn+i{T)-b = 0.

Рассьютрим сеточную аппроксимацию задачи (1):

Xk+i - 2xk + Xk-i \ n ь 1 ЛГ 1

--2--f{tk,Xk)=0, fc = 1,..., iV - 1,

xo - a = 0, Xff - 6 = 0;

здесь h = T/N, - приближения к значениям x{kh). Пусть х,/с = О,..., N,-~ совокупность величин, образующих п-е приближение к решению системы (3). В окрестности этого приближения справедливо соотношение

f{tk, Xk) f{tk, X)+f,(tk, XXk - X]).

Вследствие равенств (12) возникает соблазн отказаться от обращения матриц Z{x)Z{x) или Z{x)Z(x). Такое упрощение часто приводит к нежелательному росту погрешности.

Поэтому следующее приближение отыскиваем из системы уравнений

- (/(tb xi) + xl)W+ - xD) = 0, - = 1...., iv -1, (4)

xl+ - a = о, х- -bO,

являющейся дискретной аппроксимацией (2). В § 3 мы изучали применение ьютодов стрельбы и прогонки для решения таких линейных уравнений.

Эта же совокупность урав1Юний (2) относите.пьно след}ющего приб.пижения к решению по.пучится при формальном применении схемы метода Ньютона. Рассматриваем (1) как операторное уравнение F{x) = 0; оператором производной F будет оператор Р, определяемый равенствами

Г v -f4tit))v при te{o,T),

Рт] = } 7]{0) при t = о,

[ т]{Т) при t = T.

Уравнение метода Ньютона относительно (f) записывается в виде

- fit, Xn{t)) + (xn+i{t) - Xn{t)) - Mt, xnmx +,{t) - xn{t)) = 0, Xn{0) -a+ (x +i(0) - ж (0)) = 0,

x {T)-b + {xn+i{T)-Xn{T))=0 и совпадает с (2).

Задача 1. Выписать расчетные формулы метода Ньютона для системы (3) и убедиться, что они совпадают с (4).

В обоих вариантах, непрерывном и дискретном, мы построили сначала итерационные методы (2) и (4), линеаризуя правую часть, а потом убедились, что эти методы совпадают с итерационным методом Ньютона.

Заметим, что итерационный метод (2), как правило, не ьюжет быть реализован из-за невозьюжности решения уравнения (2) в явном виде, и на практике имеют дело именно с методом (4).

Метод (4) может представлять практические неудобства из-за необходимости хранить в памяти ЭВМ все значения х, к = О,..., N. Поэтому часто прибегают к следующему методу, который также будет изложен в непрерывном и дискретном вариантах.

Исходная задача будет решена, если будет найдено значение xq производной решения в точке 0. Решая задачу Коши для уравнения х = f{t, х) при начальных условиях х{0) = а, х{0) = Жо, получим решение на всем отрезке. Если репшть задачу Коши при начальных условиях

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 [150] 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208