Слаботочка Книги

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 [151] 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208

а;(0) = а и произвольном .г-(О), то получим значение х(Т), вообще говоря, отличное от Ь. Значение х{Т) решения задачи Коши является некоторой функцией от 2;(0) : х{Т) - ip{x{0)). Таким образом, исходная задача сводтся к решению нелинейного уравнения

Г{х{0)) = ф{0))-Ь = 0. (5)

Нахождение значения F{a) при каждом а требует решения задачи Коши

х = fit, ж), ж(0) = а, х{0) = а. (6)

В связи с большой трудоемкостью нахождения значения F{a} при каждом п для решения уравнения должны применяться методы, требующие вычисления небольшого числа значений функций F{o.).

В ряде сложных случаев задщча решается в диалоговом режиме; значение F{an) для каждого последующего приближения а вычисляется ЭВМ, а выбор +] осуществляется исследователем, решающим задачу. Подобного рода диалоговые системы приьюняются на практике много столетий. В случае конкретных работающих промышленных систем руководитель часто подбирает значение q; )-i, изучая результат работы системы при ранее взятых значениях q;i,...,q; . В случае артиллерийской стрельбы вычисление значений F{an) или signi(q;,i) осуществляется при помощи посылки снаряда в цель, а выбор q; +i осуществляется лицом, корректирующим стрельбу. Можно найти много аналогов таких алгоритмов в повседневной жизни человека и животных.

Рассьютрим вопрос о решении уравнения (5) методом Ньютона. Согласно формуле дифференцирования решения уравнения второго порядка, справедливо равенство

dFjxiO)) ад

дх{о) дх{о)

q{t) - решение задачи Коши

г/(0) = 0, г/(0)-1.

Численно или аналитически решая эту задачу, находим значение г/(Т).

Поскольку задачу Коши (6), как правило, требуется решать численно, исследуем сразу дискретный вариант этого метода. Рассмотрим сеточную аппроксимацию (3); зададимся произвольным xi и, пользуясь рекуррентной формулой, вытекающей из (3),

Xk+i = 2xk-xk-i + hf{tk,xk), k = l,...,N-l, (8)

при начальных условиях хо = а, a;i, находим сеточную функцию, удовлетворяюшую сеточному уравнению и левому граничному условию. Значение ждг является некоторой функцией от xi, х = <p{xi), вычисление

Если соотношение (9) переписать в виде

Vk+l - 2% + Щ-1 df{tk, Хк)

Vk = О,

то оно превращается в разностную схему, аппроксимирующую уравнение (7).

В случае, когда (1)--скалярное уравнение, вместо (10) часто целесообразно вычислить дхм/дх по приближенной формуле

dxN XMJxl) - XMJxl - An)

дх\ An

в частности, можно брать An = ж - ж ~.

Заметим, что в случае использования формулы (10) и вычисления производной с помощью (11), нужно обращать внимание на разумный выбор величины An (см. § 2.16), поскольку величина погрешности значения Жлг(ж1), получаемого путем численного интегрирования, часто оказывается довольно большой.

Расслютрим нелинейную краевую задачу

у = Г(ж,у), В(у(0)) = 0, D(y(X))=0,

У = (уь.-.,Ы B = (bi,...,b, ,) D = (di,...,d,). Пусть функции i(y(0)),..., 5г(у(0)) таковы, что система уравнений

bi(y(0))=0,...,/w(y(0))=0,

5i(y(0))=5i,...,5r(y(0))=5r

каждого значения которой производится с помоп1,ыо рекуррентного процесса (8). Таким образом, решение задачи (3) сводится к решению скалярного уравнения

F{xi)=ip(xi)-b = 0.

Предположим, что для решения этого уравнения используется метод Ньютона. Продифференцировав (8) по xi, получим

Vk+i = 2Tik-7]k-i + h~Vk, к = 1,..., N-1; (9)

здесь щ = дхк/дх\. Кроме того, имеем

дхо да дх]

Щ = тг- = тг- = 0; 7Д = - = 1.

ОХ\ ОХ\ ОХ\

Таким образом, при заданном х\, производя параллельно вычисления жд. по формуле (8) и r/fc по формуле (9), можно найти xixi) и dx/dxi = T]N и осуществить следующий шаг метода Ньютона:

= (10)

d (ду[х)\ ду{х) \dfi

(15)

однозначно определяет вектор у(0) = a;o(g), g = (.щ,. ., .д,)- Тогда задача (12) может быть сведена к системе нелинейных уравнений относительно параметров 5i, -. , д,-

Довольно часто граничное условие в точке О имеет вид

yi(0) =0,..., у( ,(0) =0;

тогда в качестве 5i(у(0)),..., 5г(у(0)) целесообразно взять yi ,.+ i(0),..., yi{0). Таким образом, здесь в качестве искомых параметров выступают неизвестные коьшоненты решения в точке х = 0.

Решая систему (13) при каждых 5i,...,5r) можно определить вектор у(0) = wo(g); решая задачу Коши при начальном условии у(0), определяем у{Х) = и>х{ё) и затем находим (g) = D(a;x(g))- Таким образом, решение задачи (12) сводится к решению нелинейной системы уравнений

ф{ё) = 0. (14)

Значительную группу ьютодов решения нелинейных систем составляют лютоды типа метода Ньютона, где наряду со значенияьш функций используются значения их производных di/dgk- Наиболее распространены следующ,ие два способа нахождения этих производных.

1. Для определенности речь пойдет о вычислении производных дфг/дд\. Пусть мы задались значениями д\,...,д.. Из системы уравнений (13) найдем соответствующие yi(0),..., yi(0). Дифференцируя уравнения системы (13) по gi, получаем систему уравнений для отыскания производных dyj{G)/dg\:

дЬк ду

,дут дд,

Л ддт g%(Q) 1 J

j.dyM дд,

Решение системы у= f(a;, у) при начальных условиях ?/i(0), , Уг(0) является функцией от паралютров вектор производных

ду{х) /dyi{x) dyijx] дд\ V %1 dgi

удовлетворяет систелю дифференциальных уравнений

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 [151] 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208