|
| |
|
Слаботочка Книги dgi А Вычисление производных di/dg\ по этой формуле требует дополнительно (по сравнению с нахождением значений i{gi, .., дг)) еще одного численного решения задачи Коши, соответствующей параметрам 91-f А, §2, ч ffr- Поскольку при числснном нахождении значений функций фi люжет иметь место большая погрешность, которая еще более возрастает при делении на А, здесь следует обратить внимание на разумный выбор А. Для описываеьюго метода типично одновременное нахождение производных всех функций по фиксированной переменной gj; поэтому здесь может оказаться разуьшым приьюиение итерационных процессов с поочередным уточнением параметров д. Можно представить себе такой итерационный процесс: параметры gj уточняются в циклическом порядке; уточненное значение параметра gj выбирается из условия минимума некоторой функции , ФАдх,. ., .9г) +--Q,-{gj - gj) j (см. подробнее § 7.3). Так же как при решении линейных краевых задач, возникает вопрос о применимости метода в условиях реальных округлений. Если решения Г] системы уравнений в вариациях т] = fyT] сильно растут с ростом ж, После численного решения этой системы получаем вектор dy{X)/dq\. Теперь можно найти производные Этот путь может быть целесообразен, если, наприме]), лпгогократпо решается задача (12) при одной и той же правой части f{:r. у), но при различных граничных условиях. В качестве стандартного метода определения производных dj/dyj этот метод неудобен тем, что наряду с написанием программы вычисления 1травых частей уравнения он требует от пользователя также написания программы вычигления производных dfi/dyj. 2. Для большинства итерационных методов решения систем уравнений требуется вычислять значения производных правых частей лишь с умеренной точностью. Поэтому для нахождения этих производных можно просто воспользоваться какидш-либо формулами численного дифс{)е-ренцирования, например, простейшей: дф91,. -., Ут) i{g\ + А, , ffr) - 0i(ffb , Уг) § 8. Аппроксимации специального типа Расслютрим краевую задачу [к{х)у{х)У ~p{x)y{x)=f{x), у{0)=а, у{Х) = Ь, (1) где р{х) О, к{х) ко > О, к{х) - трижды, р{х), f{x) - дважды непрерывно дифференцируемые функции, за исключением конечного числа точек, где эти функции или их производные к, к , к , р, р\ /, / могут иметь разрывы первого рода. Пусть К, Р, F - множества точек разрыва соответственно функций к{х), р{х), f{x) или их производных, Q, = K\JP\JF. В случае уравнений с разрывнылш коэффициентами или решениями иногда не ясно, как понимать уравнение в точках разрыва. Для решения то погрешности в значениях gj и вычислительные погрешности при численном интегрировании П1)иводят к большим погхзешностям в значениях функции фi, это в конечном счете приведет к большой погрешности получаемого решения. Еат такая погрешность окажется недопустимой, то следует ввести иную параметризацию задачи. В настоящее время в вычислите.пьпой практике по.пучили распространение методы, занимающие промежуточное по.пожение между методами, соответствующими формулам (3), где в качестве неизвестных параметров выступают значения рещения во всех узлах сетки, и описанным выше методом, где в качестве неизвестных параметров выступают значения решения в одной точке. Задаются точками О = хо < < < х , = X такими, что на отрезках [xi-i, Xj], г =- 1,..., т, рещения системы уравнений в вариациях не очень cn.iib-но возрастают как при продвижении в направлении по.пожнте.!1ьных х, так и при продвижении в направлении отрицательных х. В качестве отыскиваемых параметров принимаются неизвестные компоненты решения в точках хс, и х , и значения решений в точках Xi,..., (бо.лее подробно см. [1]). При практическом решении конкретных нелинейных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений, как и в случае других нелинейных задач, обычно приходится заниматься доводкой метода: предлагается какой-то специальный метод по.лучения начального приближения, который затем модернизируется с целью расширения области нача.11ьных условий, при которых он сходится для данного конкретного класса задач. В ряде случаев метод решения строится путем имитации на ЭВМ методов, встречающихся в живой природе, или применяемых практиками для решения задач данного к.ласса. Если рассматриваемая краевая задача яв.ляется задачей на экстремум некоторого функционала, то исходный функционал приб.лижается функционалом, зависящим от конечного числа параметров, и путем .линеаризации последнего получают достаточно хорошее приближение. Примеры подобных функционалов для случая линейных задач будут рассмотрены в § 11. £ {р{х)у{х) + /(ж)) dx - к{х)у которое выполнено для любых xi, x-j G [О, X]. Если x-j -> жо + О, -> Жо - О, то левая часть стремится к нулю; переходя к пределу в правой части, получаем, что к{х)у = О для любых жо G [О, X]. хо-о Исходя из этого соотношения, решением задачи (1) будем называть функцию у{х), удовлетворяюш,ую следующим условиям: 1) у{х) непрерывна на [О, X]; 2) у{х) удовлетворяет уравнению всюду на [О, X], за возьюжным исключением точек множества $1; 3) функция w{x) = /г(ж)у(ж), называемая потоком, непрерывна на [О, х\ Из условия 3) следует, что функция у(ж) = w{x)jk{x) непрерывна всюду, за исключением точек разрыва функции /с(ж); в этих точках у(ж) будет иметь разрывы первого рода. Рассмотрим сначала равномерную сетку. При п целых и полуцелых будем употреблять обозначение ж = nh\ далее X = Nh. Можно показать, что такое решение существует, а производные у{х), у (ж), у (ж) и у(ж) непрерывны и равномерно ограничены на множестве [О, X]\fi. Если при построении разностной схемы не учитывается факт разрывности у(ж), то может случиться, что решение разностной задачи не сходится к решению задачи (1). Например, такая ситуация возникнет, если раскрыть скобки в первом слагаемом (А:(ж)у(ж)) = А;у (ж) -f }{х)у\х) и аппроксиьшровать его выражением Уп.1-2упЛ-уп-. Уп+.-Уп-1 Дело в том, что хотя в области гладкости коэффициентов погрешности аппроксимации порядка 0(/г), но условие 3) не учтено при построении этого вопроса следует обратиться к интегральным соотношениям, обычно называемым законами сохранения, из которых были получены рассматриваемые дифференциальные уравнения. Уравнение (1) с разрывным к{х) обычно возникает из интегрального соотношения 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 [152] 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |