|
| |
|
Слаботочка Книги равно- мерно ограничена по п и /i и sup/? = 0(1). Если производная у {х) ограршчена на [хц, ar +i], то ШХ1р\к{х)\- sup \y \h = 0{h). Соотношение (4) записывается в виде Положим схемы. Рассмотрим другую аппроксимацию: I , ч ?/п+1 - Уп , , . Уп - Уп~1 /.,ч Цх.п+1/2)---ЦХп-у/2)-- (3) (Fy)L рЫУУп, f{Xn)f -Можно показать, что решение соответствующей разностной задачи , ( ч Уп+1 - Уп л .Уп- Уп-1 -------рЫуп = 1п, n = l,...,N-l, уо = , Ум = Ъ, сходится к решению дифференциальной со скоростью 0{h). В то же время оказьшается, что в случае, когда один из интервалов (жп-i, Жп), (жп, ж. +1) содержит точку разрыва функции к{х), погрешность аппроксимации в точке Жп имеет порядок . Проверим последнее утверждение и объясним, почему оно не противоречит фаюту сходимости со скоростью 0(Ь). Погрешность аппроксимации записывается в виде Гп =-------р(ж )г/(ж ) - /(ж ), (4) .(ж +1;2) = Мп+1/2) ,; Положим г;(ж +1/2) - k{Xn+i/2)y{xn+i) = Рп, поскольку к{;х) и производная ч гп лп У{хп+\) -У{хп) у [х) равномерно ограничены на [О, AJ, то величина Рассмотрим случай, когда на (ж , Xn+i) имеется точка разрыва коэффициента к(х); тогда для Pn+i/i не удается получить оценки лучшей, чем 0(1), а для Гп - лучшей чем 0(1 ?.). Тем не мепее погрешность решения имеет порядок 0{h). Наглядно это можно объяснить следующим образом. Точек, где г имеет порядок 0{l/h), конечное число; их доля в общем числе уз.пов порядка 0(h), поэтому суммарный вклад от погрешности аппроксимации в таких точках будет 0{к) Oil/h) = 0(1). Значение Pn+v/2 входит в выражение погрешности аппроксимации следующим образом: Аг+1/2 - Дг-1/2 Гп = Oin + /3,1+3/2 ~ Рп+1/2 Поэтому Рп+1/2 дает вклад в погрешность аппроксимации в точке Хп, равный Рп+1/2/h, а в точке a; +i - равный -Pn+i/i/h. Погрешность решения записывается в виде (см. § 2) Уд - У{хд) = hJGgr-n-Можно показать, что сеточная функция Грина удовлетворяет условию с, где постоянная с не зависит от h. Вследствие этого вклад от величины /3 +i/2 есть h{G- - G+) = 0(h) \Рп+,1,\ = 0(h). Из последних соотношений следует, что maxj/ - 2/(х ) = 0(/г). Приведенные выше соображения подтверждают широко распространенное эмпирическое правило: при построении разностных схем не следует зря раскрывать скобок и пользоваться формулой дифференцирования произведения. Построим более точную разностную схему исходя из закона сохранения (2). Имеем равенство, которое следует из (2) в результате интегрирования в пределах от Хп-1/2 До Xn+i/2- ЛХп+1/2) - w(Xn-l/2) = / [Р(Х)У(Х) + f(x) dx. (6) если величина (ку) ограничена, то а = 0{К). Окончательное выражение погрешности аппроксимации имеет вид Так как функция у{х) кусочно-дифференцируема, то у(х) = у(Жп) + 0(h) нри X - х.а = 0(h). Поэтому (6) можно переписать в виде w(xn+\l2)-w(xn-il2)= [ (ркАуЫ +!{x) + 0{h)\dx = h(p,Mxn) + f ) + 0(h)- здесь 1 / + 1/2 rXn + 1/2 Pn = T p(x)dx. fn= f(x)dx. После деления на h получится соотношение ------РпУ(ж ) = fn + 0(h). В случае, если интервал (Xn-i, ж ) содержит точки разрыва у(х), w{-n-i/2) погрешность от непосредственной замены выражения -j-- иа ,/ ,у{хп) - y{xn-i) , 1 к{Хп-1/2)-- может оказаться величиной порядка п . Для получения лучшей аппроксимации введем в рассмотрение вспо- Г dx могательиую независимую переменную t = , . . . Из ограниченности , Jo к(х) du d,u производной по ж и равенства - = к[х)- следует ограниченность про- , , , d:i/ dy изводной по t. Функция 0J ~ ~ имеет ограниченную производ- ную по ж, а следовательно, и по t. Таким образом, вторая производная ограничена и можно написать равенство dy y{tn) - y(tn-i) здесь x-n-i/a К - in-л + 0(tn - tn-v)\ Поэтому dx Г dx yjxn) - yjxn-i) tn - tn-l + 0(h). После подстановки k(x) В левую часть получим y(Xn+l) - у(Хп) у(Хп) - y(Xn-l)\ n+1/2 -РпУ(Хп) - fn = 0(1), 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 [153] 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |