|
| |
|
Слаботочка Книги 1 / Уп+1 -Уп У,1 -Уп-Л РпУп = 1п- (8) Максимум погрешности аппроксимации у полученной схемы есть 0(1), поэтому для получения оценки погрешности привлекается ряд дополнительных соображений. Если отрезок [x i, x +i] не содержит точек fi, то непосредственной проверкой с помощью раз.пожения в ряд Тейлора устанав.ливается, что погрешность аппроксимации Гп есть Oih?). В противном случае погрешность агшроксимации представляется в виде = ь,Ыхп)) -h = - - - Mx +V2)-4n-l/2) -) Рп+1/2 = -Г]-Г1--w{Xn+X/2). n+l/2 Если (ж , Xn+i) не содержит точек О, то раз.ложением в ряд Тей.лора устанавливаем, что Рп+1/2 = 0(/i~); если (ar i, Xn+i) не содержит точек П, то так же устанав.ливаем, что а = 0(/i); в противоположных случаях удается получить лишь оценки Рп+1/2 = 0{h), an = 0(/i). Далее, следуя намеченному выше способу оценки с помощью аппарата функции Грина, можно получить оценку шах \уп - у{хп)\ = 0{h). Ниже будет получена другая оценка погрешности. Из равенств (8) и (9) следует, что Гп=Цу{Хп)~Уп)=ЦЕпУ, (10) здесь Rn - погрешность приближенного решения. Пусть ipn - сеточная функция, удовлетворяющая, как и условию <fiO = ifiN = 0. k{xy Соответствующая конечно-разностная схема (предложенная Самарским и Тихоновым) имеет вид Умножим (10) на hipn и просуммируем в пределах от 1 до N - 1: Воспользовавшись выражением (9) для г , перепишем это равенство в виде (12) Si + S-2 = 8з + Si, п=1 N-1 <?п+1/2 - Кгг+1/2-- Собрав в выражении 2 подобные члены при одинаковых слагаемых /? +i/2, получим S2(v.) = -/E/n+X/2 V -п=0 (13) Заметим, что в правой части дописаны слагаемые (iN-i/2<PN и -/?i/2Vo, равные нулю в силу условия (q = дг = 0. То же самое выражение для S-z можно было бы получить, применяя разностную формулу Абеля суммирования по частям: Е ( i+i ~ = ~ Е( +1 ~ Ь )а +1 + аЪ - афо. Точно так же получим (14) (15) Подставим в (12) ipn = Rn, имеем S3{Rn) = -hY,PnRiQ, n=l N-1 s,{R )=-hY: h+i/2 {\ \ 0. Поэтому из (12) получаем Из (7) следует, что kn+i/2 о, поэтому Rn+i - Rn При Rq = Rf.] = 0 выражение {8о{Рп)У обозначают как ii. ,i,/i. Очевидно, что орю является сеточным аналогом нормгл в пространстве С. Л. Соболева Иг функций, удовлетворяющих условиям у)(0) = ip{X) = 0. с 1юрмои V ./о \ dx 2 \ Нормы \п=0 и <, с,. =тдхс являются сеточными аналогами норм пространств 2,2 и С соответственно. Теорема (сеточная теорема вложения), о,;.<!\11 1с,., (17) Справедливость первого утверждения непосредственно следует из определения норм и цепочки неравенств Пусть По - точка, где достигается наибольшее значение Рассмотрим случай По N12; случай По > N/2 сводится к рассматриваемому введением нового индекса п = N - п. Имеем равенство По -1 по-1 V /( n=0 4=0 Воспользовавшись неравенством для скалярного произведения получим Теорема доказана.  по-1 / \ 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 [154] 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |