|
| |
|
Слаботочка Книги Из (17), (18) следует, что \Ы\о.,. llv Воспользовавшись (13), получаем оценку \S2(R (19) hYiSn+inf-WRnhj.. \ 71=0 Точно так же с учетом (15) имеем \Sx{Rn)\ lla.lUo,. Л о,/. Vla o,/Ji? i,/.- Таким образом, из (16) следует lanllo,/.. + Jn+l/2 WRnh.H, поэтому \\Rnh,u~\~\\an\\o,h+ fcoV2 --)y\E(/ +V2)- Величина a порядка 0{H) за возможным исключением конечного числа п, соответствуюш,их отрезкам [ar i, x+i], имеющим обшце точки с О; для этих точек а = 0(Ъ). Отсюда следует оценка (ano,/i = 0{lv/). Точно так же выводится, что Таким образом, л, а следовательно, согласно теореме вложения и й с есть 0(/i/-). Напомним, что на самом деле Лггс;, = 0{К). При использовании схемы (8) вычислительный процесс не зависит от положения точек разрыва. Поэтому ее относят к классу однородных схем. Схема (8) на первый взгляд обладает следующим неудобством. Ее коэффициенты кд-\.1/2, Pq, fg записываются как некоторые интегралы. На самом деле можно показать, что если погрешность в значениях этих коэффициентов есть 0{h?), то погрешность приближенного решения оказывается также O(h). Поэтому если интервал {xq-i, s+i) не содержит точек разрывов коэффициентов к(х), р(х), f{x), то без потери порядка точности можно заменить рд на р{хд), на /(хд) и kg±i/2 па к{Хд±1/2)- ап ехр } + D2 ехр { i}) + bn{d, + d) + Сп (d, ехр {-i} + D2 ехр {i}) + + bn + cj - dn = 0. Чтобы это равенство выполнялось при всех Z?i и D2, необходимо и достаточно равенства нулю коэффициентов при d\ vi D2 н свободного члена. Приравняем их к нулю: an ехр Y I + bn + Cn exp = 0, a.exp {-i} + bn + c exp {ij = 0, (23) {an+bn+Cn)~-dn = . В ряде случаев построение разностных схем путем непосредственной аппроксимации производной разностным отношением приводит к недостаточно эффективным разностным схемам. Иногда бывает удобно в окрестности калодого расчетного узла приблизить рассматриваемое уравнение дифференциальным уравнением, интегрируемым в явном виде, и построить разностную схему, точную для его решений. Рассмотрим дифференциальное уравнение 1У{х)+р{х)у{х) = fix), (20) где fj. малое число; для определенности снахала предполагаем р{х) > 0. В случае р ~ const, / = О решения этого уравнения exp-fdci \ ко- I 1 } леблются с периодом 27г /у, т.е. очень сильно. Характерный размер изменения решения имеет порядок ii/yjp, поэтому если не использовать специфику данного уравнения, то для получения высокой точности необходимо выполнение довольно обременительного условия h 4С р. р. В окрестности каждого узла х рассматриваемое уравнение близко к уравнению /iy + РпУ = fn, Рп = р{хп), fn = f{xn)- Общее решение этого уравнения записывается в виде / ч г. f .VPix - Хп)\ , Г .у/рГЛх-Хп)} fn у{х) = Di ехр \ 1-) + D2 ехр \ -) + -; (21) D\, Z?2 - произвольные константы. Найдем схему вида апУп+1 + ЬпУп + СпУп-1 - dn = 0, (22) точную на всех решениях вида (21). Для этого подставим (21) в соотношение (22). Получим Полагая а = 1, получим с = 1, Ъп = -2 cos--, dn- 2-2 cos-- -. ii- \ P ) Vn Общее решение системы (23) пропорционально получехпюму частному решению. Умножим все коэффициенты dn на \ih . Тогда получим схему , ,.-2co.s у. + Л ,у \!Л, Это соотношение мы примем за разностное уравнение, соответствующее узлу Хп- Такая нормировка схемы (24) является наиболее естественной: если вместо у. подставить в (24) значение у(ж. ) и при фиксированном Хп устремить /i к О, то в пределе получится исходное дифференциальное уравнение -V{xn)y - f{xn) = 0. Все приведенные выше построения имеют смысл независимо от знака Рп, при Рп < О в окончательной расчетной формуле имеем л/Vh . y/-Pnh , y/-Pnh cos--= cos 1-= СП-. p p p. в случае Pn = const > 0 и / = 0 расчетная формула (24) переписывается в виде Уп+1 - 2 cos уп + Уп-1 = 0. (25) То, что эта формула является точной на решениях уравнения (20) при Рп = const > О и / = О, можно было бы усмотреть из известной формулы тригонометрии COS Ipl + cos lp2-2 cos--- COS--- = 0, подставив в нее Ipl =--ha, ip2 =--1- a; a - произвольное число. Расчетная формула (25) иногда используется для быстрого вычисления таблицы значений cost или sini на равномерной сетке с невысокой точностью. Необходимость в этом может возникнуть, если, например, решается дифференциальное уравнение х = f{x, t) с правой частью, содержащей значения cosi или sinf, и вычисление их значений составляет существенную долю от затрат на вычисление правой части. Заметим, что суммарная вычислительная погрешность при вычислении значений cosi и sint по этим формулам имеет порядок О(пй) (й = 2~* - погрешность округлений). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 [155] 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |