|
| |
|
Слаботочка Книги 1 - tgyjtg -ж ) tg(v9 -f- ?/) Получим равенство при (р - а\х.а + с), = а\Хп-\ - а; ) и тем, что -- = tgyj, - 1 + tg(a(a: + i-.Tj) -yiXn+l) = l- + tg{a{x +i-Xn)) Отсюда получаем расчетную формулу для исходного уравнения Уп + ап+1/2 tg( n+l/2(.n+l - Х-гг)) , , Уп+1 --у:-- lJ 1--tg( n+i/2(2;n+i - Хп)) Оп+1/2 За счет некоторого понижения точности ее можно упростить, воспользовавшись приближенным равенством tg V; получим Уп + а1 у/2(--п+1~Хп) Уп+1 = ---- {) 1 -Уп{Хп+1 - Хп) Обе расчетные формулы (27) и (28) позволяют получить приближение к решению и после прохождения полюсов, если только случайно не оказалось, что расстояние от одного из узлов до ближайшего полюса много меньше, чем ш1п(ж +1 - ж ). Этого всегда можно избежать, распорядив- шись выбором шагов вблизи полюса. Как примеры расчетных формул подобного рода можно рассматривать рекуррентные формулы метода прогонки (4.9), (4.10). Рассмотрим уравнение у{х) =у{х) +а{х), (26) решения которого могут обрагцаться в бесконечность. При аналитической функции a{z) решения аналитичиы в комплексной плоскости в окрестности вещественной оси и иногда представляет интерес найти значения решения уравнения (26) в некоторой точке вещественной оси, отделенной от исходной несколькими полюсами. Один из возможных путей - это численное интегрирование (26) вдоль некоторой кривой, обходящей особые точки. Другой путь-это построение разностных схем, имеющих высокую точность на особенностях решения. На отрезке [х-п, Xn+i] уравнение (26) приблизим уравнением У{х) = yix) + al+i/2, = а{{хп + x +i)/2). При а = const общее решение уравнения у{х) = у{х) + с? имеет вид 1/(ж) = а tg(a(a; -f с)). Воспользуемся формулой 4vp + </) = § 9. Конечно-разностные методы отыскания собственных значений Рассмотрим простейшую краевую задачу на собственные значения: у {х)~р{х)у{х) = Хр{х)у(х). у(0)=0, у{Х)=0. (1) Зададимся шагом h = XN~ и вьшишем сеточную задачу Уп+1 - Уп + Уп-1 . ---РпУп = ХрпУп, n=l,...,N-h уо = ?;лг = 0: рп=р{х ), Рп = р{хп). Значения А, при которых система уравнений (2) имеет ненулевое решение уо,---1Ум, естественно назвать собственными значениями сеточной задачи. Пусть собственные значения задач (1), (2) упорядочены в порядке убывания, т. е. Ai А2 . ; А А2 . Рассмотрим модельный пример: р{х) = 0. р{х) = 1; тогда (1) приобретает вид у {х) = Ау(ж), у(0) = у{Х) = 0. Можно проверить, что собственные функции этой задачи есть u; (.t) = 8т(7гтж/Х) и соответствующие собственные значения Хт = -(тгт/Х). В случае сеточной задачи (2), приобретающей вид У71+1 - 2у,1 + Уп-1 , -Р--ЛпУп = и, Уо = Улг = 0. рассуждаем следующим образом: общее решение разностного уравнения Уп-1-1 - (2 -1- Х11)уп + Ул-1 = О записывается в виде Уп = Cip\ + где /ii, 2 -корни характеристического уравнения - (2 -Ь Xh)p + 1 = 0. (3) По формуле Виета p.ip.2 = 1, поэтому р - и у = Ci/Lt + C2Pi -Условия Уо = ypj =0 дают систему уравнений Ci + C2 = О, Ci/f + С2Р2 = 0; она имеет ненулевое решение, если ее определитель равен О, а именно, если - yuf = 0. Отсюда pi = eyip{mrn/N}, rn = ..., -1,0, 1,... Из (3) можно выразить значения А через значения pi : Г Trim 1 Г Triml = (2cos --2)=-4-sm2 . тгтп Собственные значения Aj,...,Ayy j различны между собой, поэтому соответствующие им собственные функции = sui,..., W = sin дг также различны. Так как задача (2) является задачей на собственные значения для матрицы размерности N-1, то мы получили полную систему собственных функций; каждая из функций при т О или при т, N равна тождественно нулю или пропорциональна одной из перечисленных выше функций W,..., WJ~. Мы случайно выбрали такой пример, где в узлах сетки ж = nh выполняется равенство W:; = Winh). в общем случае это равенство не имеет места; однако характер близости собственных значений этих задач типичен и для общего случая. Посколь- ку, согласно формуле Тейлора, cos ж = 1 -- + со8{вх)--, где \в\ < 1, то из выражения для ХЦ получаем 12 У N J  Ai = Из этой формулы видно, что Хт - Хт = 0{К) при фиксированном т; в то же время с ростом т как абсолютная, так и относительная погрешности монотонно возрастают и, например, AjV-i -irjN - 1)2 2N Равенство (4) можно записать в виде оценки А - Al ОА/г, где С не зависит от Хт. и /г. В случае дважды дифференцируемых функций р{х), р[х) также можно получить такую оценку. Для решения задачи (1) с более высокой точностью можно воспользоваться любыми разностными аппрохссимациями уравнения у {х) - q{x)y{x) = О более высокой точности. Рассмотрим пример. Для определенности возьмем Су = (2i); тогда соответствующие собственные функции имеют вид 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 [156] 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |